复变函数典型题整理

核心公式：

z = r(\cos \theta + i \sin \theta)

\theta = \arg z = \text{Arg} z + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

大家容易忽视的细节：

集合 vs 数值： 小写的 $\arg z$ 是一个集合（无穷多个值），大写的 $\text{Arg} z$ 是主值（唯一的数值）。
主值范围： 绝大多数教材规定主值范围是 $(-\pi, \pi]$ 。
- 注意是左开右闭。当 $z$ 位于负实轴上时， $\text{Arg} z = \pi$ 而不是 $-\pi$ 。
计算陷阱： 利用 $\arctan(y/x)$ $arctan (y / x)$ 计算辐角时，计算器算出的值在 $(-\pi/2, \pi/2)$ $(- π /2, π /2)$ 之间。
- 若 $z$ 在第二、三象限，必须手动加减 $\pi$ 进行修正。
- 公式化修正：
  - 第一、四象限 ( $x>0$ ): $\theta = \arctan(y/x)$
  - 第二象限 ( $x<0, y\ge0$ ): $\theta = \arctan(y/x) + \pi$
  - 第三象限 ( $x<0, y<0$ ): $\theta = \arctan(y/x) - \pi$

核心公式：

\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i \arg z \quad (\text{多值函数})

\ln z = \ln |z| + i \text{Arg} z \quad (\text{单值主值})

大家容易忽视的细节：

大写与小写： 题目若写 $\operatorname{Ln} z$ ，结果必须带 $2k\pi i$ ；题目若写 $\ln z$ ，结果是唯一值。
实部与虚部：
- 实部 $\ln|z|$ 是实变函数中的自然对数，永远是实数。
- 虚部由辐角决定。
负数有对数： 在实变函数中 $\ln(-1)$ 无意义，但在复变函数中： $\operatorname{Ln}(-1) = \ln|-1| + i(\pi + 2k\pi) = (2k+1)\pi i$ $\ln(-1) = \pi i$
幂函数定义依赖于对数： $z^a = e^{a \operatorname{Ln} z}$ 。如果 $\operatorname{Ln} z$ 是多值的， $z^a$ 通常也是多值的。

这是计算积分最核心的工具，区分“几阶极点”是关键。

准则 I：一级极点 (Simple Pole) 若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一级极点：

\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)

准则 II：分式型一级极点 (常见且好用) 若 $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ ，且 $P(z_0) \neq 0, Q(z_0) = 0, Q'(z_0) \neq 0$ （即分母的一阶零点）：

\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}

忽视点： 很多人看到分式就想通分化简，其实直接“分子不变，分母求导”代入 $z_0$ 最快。例如 $\frac{1}{z^4+1}$ 的留数计算。

准则 III： $m$ 级极点 (Pole of order $m$ ) 若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 级极点 ( $m \geq 2$ )：

\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right]

忽视点：
1. 阶乘： 别忘了前面的 $\frac{1}{(m-1)!}$ 。如果是二级极点，系数是 $1/1! = 1$ ；三级极点是 $1/2! = 1/2$ 。
2. 求导次数： 是求 $m-1$ 次导，不是 $m$ 次。二级极点求1次导，三级极点求2次导。
3. 先乘后导： 必须先乘 $(z-z_0)^m$ 约掉分母中的奇异项，再求导，最后取极限。

核心公式： 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $z_0$ 在 $D$ 内：

\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i f(z_0)

高阶导数形式（通常在稍后几页，但常结合考）：

\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)

大家容易忽视的细节：

解析性检查： 公式中的 $f(z)$ $f (z)$ 必须在围线 $C$ $C$ 内部及边界上处处解析。
- 例如：计算 $\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{z(z-3)} dz$ 。
- 这里 $z=0$ 在圆内， $z=3$ 在圆外。
- 必须把式子看成 $\frac{f(z)}{z-0}$ ，其中 $f(z) = \frac{\sin z}{z-3}$ 。因为 $z=3$ 在圆外，所以 $f(z)$ 在圆内是解析的，可以直接套公式。
分母的形式： 标准形式分母是 $z-z_0$ $z - z_{0}$ 。
- 如果题目是 $2z-1$ ，必须提取系数化为 $2(z - 1/2)$ ，那个系数 $1/2$ 会影响最终结果。
幂次与阶乘：
- 分母是 1 次方 $\to$ 用原函数 $f(z_0)$ 。
- 分母是 2 次方 $\to$ 用一阶导 $f'(z_0)$ 。
- 分母是 3 次方 $\to$ 用二阶导 $f''(z_0)$ 并除以 $2!$ 。
- 易错点： 积分结果是 $\frac{2\pi i}{n!} \times \text{导数值}$ ，别把阶乘漏了或乘反了。

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