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电磁场与电磁波 · 期末复习资料
依据课件：全部 19 份课件（绪论+§1.1–1.8、§2.1–2.7、§3.1–3.3、3.5、§4、§5、§6、§7）。§3.4 静态场边值问题/唯一性定理、§3.6 分离变量法课件未涉及，不在本资料内；§4.4 唯一性定理课件仅给出结论，本资料补写了证明。 覆盖范围：绪论；第 1 章 矢量分析（§1.1–§1.8）；第 2 章 电磁场的基本规律（§2.1–§2.7）；第 3 章 静态电磁场及其边值问题的解（§3.1–§3.3、§3.5）；第 4 章 时变电磁场（§4.1–§4.5）；第 5 章 均匀平面波在无界空间中的传播；第 6 章 均匀平面波的反射和透射；第 7 章 导行电磁波（§7.1–7.2、§7.5）。 标注约定：（补充）=课件之外补充的内容；（待核对）=课件图片不清晰、无法完全确认的内容。
目录
- 第0章 绪论
- 第1章 矢量分析
- 第2章 电磁场的基本规律
- 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
- 第4章 时变电磁场
- 第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
- 第6章 均匀平面波的反射和透射
- 第7章 导行电磁波
- 物理量与公式大总结
- 附：待核对与补充清单
第0章 绪论
课程逻辑主线（静止、运动电荷所产生的效应）：
| 电荷状态 | 产生的场 |
|---|---|
| 静电荷 | 静电场 |
| 匀速直线运动（恒定电流） | 独立的电场、磁场 |
| 变速运动（时变） | 时变电磁场，电场磁场互相转换 → 电磁波 |
发展史（三大实验定律 + 理论总结）：
| 年代 | 人物 | 贡献 | 对应章节 |
|---|---|---|---|
| 1785 | 库仑（法） | 库仑定律（真空中两个静止点电荷间的作用力） | 2.2 |
| 1820 | 奥斯特（丹） | 电流磁效应 | — |
| 1820 | 安培（法） | 安培定律（两电流元间的作用力） | 2.3 |
| 1831 | 法拉第（法） | 电磁感应定律（变化的磁场产生电场） | 2.5 |
| 1864 | 麦克斯韦（英） | 麦克斯韦方程组 | 2.6 |
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
标量与矢量
- 标量：只有大小、没有方向的物理量（距离、速率、电压、电荷量、质量、能量），加减为代数和。
- 矢量：既有大小又有方向的物理量（位移、速度、加速度、力、电场强度 、磁场强度 ），用一条有方向的线段表示：长度=模，箭头=方向。
- 场：给定区域内各点物理量的集合。
单位矢量：
- ：任一矢量；（也记作 ）： 的模；：与 同方向的单位矢量，模为 1，无单位。
矢量的加、减法与数乘
加法（平行四边形法则 / 三角形法则）：
减法：
数乘： 仍为矢量，大小为 ； 时与 同向， 时反向。
点乘（点积、标积）
点乘（⭐重要）：
- 结果为标量；、；：两矢量正向夹角（）。
- 运算律：（交换律）；（分配律）。
- 几何意义： 在 方向的投影乘 。
叉乘（叉积、矢积）
叉乘（⭐重要）：
- 结果为矢量；：垂直于 、 所在平面、满足右手螺旋定则的单位矢量。
- 大小 = 以 、 为邻边的平行四边形面积。
- 运算律：（不服从交换律，反交换）；（分配律）。
三重积
三个矢量相乘有三种形式：
① ：标量乘矢量，结果为矢量，方向沿 。
② 标量三重积（运算法则：先算叉积，后算点积）：
- 结果为标量；几何意义：其绝对值 = 以三矢量为棱的平行六面体的体积（ 为底面矢量， 在其上的投影为高）。
- 三矢量顺序轮换结果不变；对调任意两个则变号。
- （补充）行列式形式：（直角坐标系分量）。
③ 矢量三重积：
矢量三重积（⭐重要）：
- 结果为矢量；课件记忆法：矢量三重积 =（括号外矢量·括号内较远矢量）×剩余矢量 −（括号外矢量·括号内较近矢量）×剩余矢量。
- （补充）口诀 "BAC−CAB"：。
- 注意：，叉乘不满足结合律。
1.2 三种常用的正交坐标系
一、直角坐标系
- 坐标变量范围：，，。
- 单位矢量（常矢量）满足右手螺旋定则：
任一矢量：
- ：矢量 在三个坐标轴上的分量（投影）。
矢量之和（对应分量相加）：
点乘：
叉乘（行列式展开）：
微分元：位置矢量 ，
面积元（下标表示面积元法线方向）：
体积元：
二、圆柱坐标系
- 坐标变量范围：，，；：径向坐标，：角向坐标，：轴向坐标。
与直角坐标的坐标变换：
- 由 求 时须按 所在象限定角度。
单位矢量关系（右手螺旋）：，，。
与直角系单位矢量的关系（由 、 得出）：
- 注意：、 随 变化，不是常矢量；（补充） 及所有单位矢量对 、 的偏导均为 0。
任一矢量及其运算：
微分元：位置矢量 ，
- 易错： 方向的长度元是 ，不是 。
面积元：
体积元：
度量系数（拉梅系数，定义为"每个坐标的长度增量 ÷ 该坐标增量"）：
三、球坐标系
- 坐标变量范围：，，；：径向坐标，：俯仰角（极角），：方位角。
与直角坐标的坐标变换：
单位矢量关系（右手螺旋）：，，。
与直角系单位矢量的关系：
逆变换：
单位矢量对角坐标的偏导数：
- 注意： 都随位置（）变化，均非常矢量。
任一矢量及其运算：
微分元：位置矢量 ，
- 易错： 方向长度元是 ， 方向是 。
面积元：
体积元：
度量系数：
1.3 标量场的梯度
场的概念与分类
- 场：在某个空间区域里，每一点都有一个确定的物理量与之对应（该物理量一般还是时间的函数），这些量的集合叫场。
- 分类：静态场 / 时变场；标量场 、 / 矢量场 。
等值面
- 定义：标量场中 取相同数值的点构成的空间曲面。等值面方程：。
- 三个特点：① 不同 值得到一族等值面；② 等值面充满场所在的整个空间；③ 等值面互不相交。
方向导数
定义（ 处沿 方向）：
计算公式：
- ： 方向的方向余弦，。
- 意义：标量场 在某点沿 方向的变化率；与方向的选取有关。
梯度
定义：梯度是一个矢量，方向沿场量 变化率最大的方向，大小等于其最大变化率：
推导（梯度方向与最大方向导数的关系）：令
则方向导数可写作
当 与 同方向时方向导数最大、等于 ，故 就是梯度。证毕。
三种坐标系中的梯度表达式（⭐重要）：
- 哈密顿算符（矢量微分算符）：，同时具有矢量性和微分性。
- 适用条件： 在所论区域一阶偏导存在。
梯度的性质：
- 标量场 的梯度 是一个矢量场。
- 某点沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
- 每一点的梯度垂直于该点的等值面、指向场增加的方向；垂直于梯度方向的方向导数为 0。
与 有关的梯度结论（课件例1.3.1，第2章反复使用）
设 ，：
- 简证：，三分量合成即 ；再由复合求导 。
- 对场点坐标 求导；（补充）对源点求导记为 ，有 。
1.4 矢量场的通量与散度
矢量线
- 矢量线：曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向。
- 矢量线方程：
通量
定义：矢量 在某一有向曲面 上的面积分：
- ：有向面积元；：面元法向单位矢量（闭合面取外法向）。
- 物理意义（闭合面）： 穿出的矢量多于穿入，内有正源（ 正源 > 负源）； 正源 < 负源； 正负源相当（无净通量源）。
散度
研究目的：确定场域内每一点的通量源特性（源的分布）。
定义（闭合面 向该点无限收缩）：
- 即"单位体积发出的通量"；散度是标量。
直角坐标系表达式的推导：取以点 为中心、边长 的小长方体。沿 方向一对面的净流出通量为 ，同理 、 方向为 、。总通量只保留一阶项：
除以 并取极限：
散度的直角坐标系表达式（⭐重要）：
散度定理（高斯定理）（⭐重要）：
- ：闭合面 所围体积；把"体积分↔闭合面通量"互相转化；条件： 在 内一阶偏导连续。
1.5 矢量场的环量与旋度
环流（环量）
定义：矢量场 沿场中一条闭合路径 的线积分：
- 物理意义：描述矢量场的旋涡特性； 该区域有与回路同向的漩涡， 有反向漩涡， 无漩涡。
- 局限：环量代表闭合曲线包围的总源强度，不能显示源的分布 → 需要引入旋度。
旋度
定义：旋度是一个矢量，方向为使 具有最大环量强度的方向，大小等于该方向的最大环量强度（单位面积环量）：
- ：最大环量强度方向的单位矢量；：闭合曲线 包围的面积。
- 旋度大小 = 包围单位面积的闭合曲线上的最大环量；数值越大，矢量旋转越快；方向符合右手螺旋定则。
- 运算对象是矢量，结果是矢量。
旋度的直角坐标系表达式（⭐重要）（行列式记忆）：
斯托克斯定理（旋度定理）（⭐重要）：
- ：以闭合曲线 为周界的任意曲面； 的绕向与 满足右手螺旋关系；把"面积分↔闭合回路环量"互相转化。
1.6 无旋场与无散场
定义：
- 旋度处处为零的矢量场称为无旋场：。
- 散度处处为零的矢量场称为无散场：。
两条重要恒等式（⭐重要）：
① 梯度无旋：任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。
证明（直角坐标系按行列式展开）：
（二阶混合偏导数与求导次序无关，各项相消。）证毕。
② 旋度无散：任一矢量场 的旋度的散度一定等于零。
证明：
证毕。
位函数（两条逆命题的应用）：
- 无旋场 （）可表示为某个标量场 的梯度：， 称为无旋场 的标量位函数。
- 无散场 （）可表示为某个矢量场 的旋度：， 称为无散场 的矢量位函数。
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
拉普拉斯运算
"先取梯度，再取散度"（标量场 ）：
- ：拉普拉斯算符；结果为标量。
三种坐标系表达式：
"先取散度，再取梯度"：；"先取旋度，再取旋度"：。
重要恒等式（课件用"（散度再梯度）−（旋度再旋度）"逐分量推导）：
矢量恒等式（⭐重要）：
推导思路（以 分量为例）：记 ，则
即 ；、 分量同理，三式相加即得矢量恒等式。证毕。
- 矢量拉普拉斯运算（直角系按分量进行）：，结果仍是矢量。
- （补充）"先取散度再取梯度" 没有类似简化，三者是不同的运算。
格林定理（格林恒等式）
已知散度定理 。
推导：令 （ 为两个标量函数），利用乘积求导：
代入散度定理，得格林第一恒等式：
把上式中 、 互换得另一式，两式相减，得格林第二恒等式：
- ：沿闭合面外法线方向的方向导数；条件： 在 上二阶偏导连续。
1.8 亥姆霍兹定理
定理：在有限区域 内，任一矢量场由其散度、旋度和边界条件（限定区域的闭合面 上的矢量场分布）唯一确定：
其中（，积分遍及源区域）：
- ：对源点坐标 求导；：边界面 外法向单位矢量。
- 意义（4 条）：
- 矢量场 可表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和；标量函数由 的散度和 在边界 上的法向分量完全确定；矢量函数由 的旋度和 在边界 上的切向分量完全确定。
- 由梯度无旋、旋度无散，矢量场可进一步表示为一个无旋场与一个无散场之和：，其中 、。
- 若区域内 的散度和旋度处处为 0，则 由边界面 上的场分布完全确定。
- 对无界空间，当 （）时， 由其散度和旋度完全确定。
第1章 易错点与常考题型
易错点：
- 圆柱系 中 项是 ；球系 项是 、 项是 ； 别忘因子 （圆柱）或 （球）。
- 圆柱系 是 的函数，球系三个单位矢量都是 的函数——求导、积分时不能当常数；直角系单位矢量才是常矢量。
- 叉乘反对称：；矢量三重积括号位置不同结果不同（）。
- 梯度、旋度是矢量，散度、拉普拉斯 是标量，不要混淆； 兼具矢量性与微分性（作用于乘积时两个因子都会被求导）。
- 高斯定理联系"体积分 ↔ 闭合面通量"，斯托克斯定理联系"面积分 ↔ 闭合回路环量"，注意必须是闭合面/闭合回路，且方向（外法向、右手螺旋）配套。
- 无旋场才能引入标量位，且 带负号；无散场才能引入矢量位 。
- 由 定角时须判断象限。
常考题型：
- 给定 2–3 个矢量的分量，求单位矢量、模、点乘、叉乘、夹角、三重积（课件习题 1.1 型）。
- 三种坐标系间的坐标与单位矢量互换、微分元（）的写出。
- 求 、、、（三种坐标系），特别是 型函数：、（课件例 1.3.1）。
- 利用散度定理 / 斯托克斯定理化简或计算积分。
- 判断场无旋 / 无散，并写出对应位函数；证明 、。
- 用恒等式 与格林恒等式做证明题。
- 亥姆霍兹定理的表述：散度 + 旋度 + 边界条件唯一确定矢量场。
第2章 电磁场的基本规律
（本章主线：从三大实验定律、两个假设，到麦克斯韦方程组。）
2.1 电荷守恒定律
一、电荷与电荷密度
- 自然界存在正、负两种电荷；带电体电荷量 ，单位库仑（C）。
- 最小带电粒子（质子、电子）的电荷量为基本电荷量 ；任何带电体的电荷量都是基本电荷量的整数倍（电荷量子化）。
- 宏观上大量带电粒子密集分布时，可视为连续分布，用电荷密度描述。
- 记号约定（贯穿全章）：、 代表源空间和源点位置矢量；、 代表场空间和场点位置矢量。
① 电荷体密度（电荷连续分布于体积 内）：
- 单位：。
② 电荷面密度（电荷连续分布于曲面 上）：
- 单位：。
③ 电荷线密度（电荷连续分布于细线 上）：
- 单位：。
④ 点电荷与 函数：体积可忽略的带电体视为点电荷。位于坐标原点、电荷量为 的点电荷，其密度用 函数表示：
的定义性质：
位于 处的点电荷：
除在 处为 外处处为 0，且 （区域包含 ）或 （不包含）。
二、电流与电流密度
电流强度（简称电流）：，单位安培（A）。
① 体电流密度 （体电流：电荷在某体积内定向移动形成）：
- 方向：正电荷移动方向；大小：垂直于正电荷移动方向上单位面积内通过的电流。
- 单位：； = 通过任意截面 的电流。
② 面电流密度 （面电流：电荷在厚度可忽略的薄层内定向移动形成）：
- 大小：垂直于正电荷移动方向上单位长度内通过的电流；单位：（注意不是 ）。
③ 线电流与电流元：电流集中在横截面积可忽略的细线轴线上流动；长度无限小的电流元记为 。
三、电荷守恒定律与电流连续性方程
电荷守恒定律：单位时间内从闭合面 内流出的电荷量 = 闭合面 包围的体积 内的电荷减少量。
积分形式：
微分形式（电流连续性方程）：
推导：由电荷守恒定律 ；假设 不随时间变化，则 ；再对左边用散度定理 ，于是
由 的任意性得微分形式。证毕。
2.2 真空中静电场的基本规律
一、库仑定律
表述：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与电荷量乘积成正比、与距离二次方成反比，方向沿连线，同性相斥、异性相吸。
- ： 对 的作用力（N）；：由 指向 的距离矢量，，。
- ：真空中的介电常数（单位 F/m；（补充））。
- 适用条件：真空、点电荷、静止。
静电力的叠加原理： 个点电荷 （位于 ）对位于 处电荷 的作用力等于各点电荷单独作用力之和：
二、电场强度
定义：单位正试验电荷在场点所受的力（试验电荷 ，以免影响源电荷分布）：
- 单位：V/m（伏/米，等价 N/C）；大小 = 单位正电荷在该点所受电场力的大小，方向与正电荷受力方向一致。
点电荷的电场（ 位于 ）：
个点电荷（叠加原理）：
连续分布电荷（记 ）。
体分布：
面分布：
线分布：
- 积分变量是带撇的源点坐标，积分区域是源区； 由源点指向场点。
三、静电场的基本方程（散度与旋度）
微分形式：
高斯定理（微分形式）（⭐重要）：
静电场无旋性（微分形式）（⭐重要）：
积分形式：
高斯定理（积分形式）（⭐重要）：
静电场的环路定理（⭐重要）：
- 物理意义：① 空间任一点电场强度的散度与该处电荷密度有关——静电荷是静电场的通量源（高斯定理：穿出闭合面的电通量 = 面内总电荷/）；② 静电场是无旋场（环路定理：单位正电荷沿静电场中任一闭合路径移动一周，电场力不做功）。
推导一（散度）：由体分布电场及 （例 1.3.1 结论），
（ 只对场点 求导，可移入积分号内。）两边取散度：
（利用 。）由 函数挑选性质：
推导二（高斯定理积分形式）：对 两边取体积分，并用散度定理：
推导三（旋度与环路定理）：由推导一， 是一个标量函数的梯度，由梯度无旋：
两边对任一曲面 作面积分并用斯托克斯定理：。证毕。
四、重要例题
例 2.2.1 电偶极子的电场强度（ 相距 ，求远场）：
设 位于 、 位于 ，场点 。由叠加原理：
分母二项式展开（，忽略高阶小量，）：
代回并化简：
引入电偶极矩 （方向由 指向 ，单位（补充）C·m），且 ：
把 代入，得球坐标分量式：
- 适用条件：远场 ；电偶极子场 （比点电荷的 衰减更快）。
例 2.2.2 均匀带电环形薄圆盘（内半径 、外半径 、面密度 ）轴线上任一点的电场：
场点取 ，源点在圆柱坐标 处，，。由面分布公式：
径向分量 随 旋转，对 积分为 0（对称性）； 分量对 积分得 ：
- 方向沿轴线； 时退化为点电荷场（总电荷 ）。
例 2.2.3 由 反求电荷体密度（半径 的球内 分布不均匀，已知）：
由散度方程 。 只有 分量，用球坐标散度公式：
代入： 时 ，，得 ； 时 为常数，导数为 0，得 。
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
一、安培力定律
真空中两恒定电流回路 、 通电流 、， 对 的作用力：
其中 ，，； 真空磁导率。
二、磁感应强度
定义 ：电流 在 处产生的磁感应强度，使 。
毕奥–萨伐尔定律（电流元 在 处产生的磁感应强度）：
毕奥–萨伐尔定律（⭐重要）：
对线电流、体电流 、面电流 分别积分即得 。单位：（特斯拉）。
三、恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程（微分形式）（⭐重要）：
积分形式：（磁通连续性原理）；（安培环路定理）。
物理意义：恒定磁场是无散场（无磁荷），是有旋场（恒定电流为涡旋源）。
证明：磁通连续性原理 （课件推导）
- 体电流在场点 的磁感应强度写成
- 由例 1.3.1 的结论 ，上式化为
- 用矢量恒等式 。取 、： 只对场点 求导，而 只含源点坐标，故 ，得
于是 ，代回得
- 记 ，则 。两边取散度，利用"旋度无散" ：
- 对 取体积分并用散度定理：
证毕。物理意义：磁感应线闭合，自然界无孤立磁荷。
证明：安培环路定理 （课件推导）
- 对 两边取旋度：
- 用矢量恒等式 ：
- 第二项用 ：
- 第一项为零。先证 ：
其中 （ 与场点无关），恒定电流 。于是
（积分面 取在电流分布之外，其上 。） 5. 因此 。对以 为边界的曲面 积分并用斯托克斯定理：
证毕。
例 2.3.1 线电流圆环轴线上的磁感应强度
圆环半径 ，电流 ，求轴线 处 。
解：电流元 ，，，，。。积分后 分量为零（对称），得
圆环电流轴线上的磁感应强度（⭐重要）：
圆环中心 处 ；远场 时 。
2.4 媒质的电磁特性
一、电介质的极化
极化强度 ：单位体积内分子电偶极矩矢量和，。
线性各向同性介质：， 电极化率（正实数）。
极化电荷的推导（课件过程）：极化后穿过面元 的极化电荷为 ，闭合面 内的总极化电荷
而 ，用散度定理：
分界面上作小扁柱体（），同理得
电位移矢量的引入：真空中 ，代入 ：
定义 ，即得 （仅与自由电荷有关）。积分形式 。
本构关系：，， 相对介电常数（无量纲）。
二、磁介质的磁化
磁化强度 ：单位体积内分子磁矩矢量和，。
线性各向同性介质：， 磁化率。
磁化电流的推导（课件过程）：只有被闭合曲线 链环的分子电流对总磁化电流有贡献。穿过以 为边界的曲面 的磁化电流
而 ，用斯托克斯定理：
分界面上作小扁回路（），同理得
磁场强度的引入：真空中 ，代入 ：
定义 ，即得 （仅与传导电流有关）。积分形式 。
本构关系：，， 相对磁导率。
三、导电媒质的传导
欧姆定律微分形式：（ 电导率，）。
焦耳定律：单位体积功率 ；总功率 。
2.5 电磁感应定律和位移电流
一、电磁感应定律
法拉第定律：，其中 为感应电场。
引起磁通变化的因素：① 变、 不变（感生电动势）；② 不变、 变（动生电动势）；③ 两者均变。
一般形式：回路以速度 运动时，磁通
的变化率由两部分组成—— 随时间变化，以及回路运动扫过新面积：
由 得
微分形式（固定回路）：；（运动回路）。
二、全电流定律与位移电流
安培环路定理 取散度，因 ，得 。但时变场中连续性方程为
二者矛盾。由 得 ，代入连续性方程：
故把安培环路定理右端改为 ，两边取散度即自洽。Maxwell 引入位移电流密度：
位移电流密度（⭐重要）：
修正后的安培环路定理（全电流定律）：，积分形式 。
结论：位移电流密度仅取决于 的时间变化率；时变电场是磁场的涡旋源。
2.6 麦克斯韦方程组
微分形式
麦克斯韦方程组（微分形式）（⭐重要）：
四个方程的来源（"三大定律、两个假设"）：
| 方程 | 来源 |
|---|---|
| 安培环路定理 + 位移电流假设 | |
| 法拉第电磁感应定律 | |
| 磁通连续性原理 | |
| 高斯定理 + 极化（电介质）假设 |
积分形式
本构关系（线性各向同性介质）
，，。
代入后：，，，。
2.7 电磁场的边界条件
表格取 由介质 1 指向介质 2（与后续章节一致）。课件图 2.7.1 取 由介质 2 指向介质 1，故课件写作 、；两种写法等价（把 换成 即互相转换）。下面的推导按课件图，取 由 2 指向 1。
| 场量 | 边界条件 | 推导依据 |
|---|---|---|
| 切向 | ，即 | 全电流定律（小扁矩形回路） |
| 切向 | ，即 | 法拉第定律（ 面积分 ） |
| 法向 | ，即 | 磁通连续性（小扁柱体） |
| 法向 | ，即 | 高斯定律（小扁柱体） |
一、 的切向分量（课件推导）
在分界面两侧作小扁矩形回路 ：长边 在介质 1、 在介质 2，短边 。由全电流定律
左边：
当 时，、 两段积分为 0，故
右边： 为有限值，其在小扁回路所围面积上的积分为 0；只有分界面上的自由面电流 有贡献：
比较两边，得
由 和混合积法则 ：
对任意 成立，故
结论：存在自由面电流时， 的切向分量不连续；两介质电导率有限时 ， 的切向分量连续。
二、 的切向分量（课件推导）
同一小扁矩形回路，由法拉第电磁感应定律
左边当 时化为 ；右边 为有限值，面积 ，积分为 0。故
即切向分量连续：
三、 的法向分量（课件推导）
在分界面上作小扁圆柱体：顶面、底面各为 ，高 。由磁通连续性定理
侧面面积 ，其积分为 0；顶面外法向为 、底面外法向为 ：
故
结论： 的法向分量连续。
四、 的法向分量（课件推导）
同一小扁圆柱体，由高斯定律
当 时，体积电荷退化为分界面上的自由面电荷，；侧面通量为 0：
故
结论：有自由面电荷时， 的法向分量不连续； 时连续。
以上四式按课件图的 （由 2 指向 1）写出。若按本节表格的 （由 1 指向 2），把 换成 ，即得表中四式。
理想导体表面（，内部 ）：，，，（ 为导体表面的外法向）。
理想介质分界面（无面电荷/面电流）：，，，。
电位边界条件：；无自由面电荷时 。
第2章 易错点与常考题型
易错点（接续 §2.1–§2.2 的 10 条）：
- 安培力公式中 由 上源点指向 上场点； 的方向由右手螺旋定则确定。
- 毕奥–萨伐尔定律 的叉乘顺序不可颠倒。
- 极化电荷 的负号易丢；极化电荷面密度 ， 由 1 指向 2。
- 与 不可混淆：后者仅适用于线性各向同性介质。
- 法拉第定律 的负号（楞次定律）不可丢。
- 位移电流 不是真实电荷流动，但能产生磁场。
- 边界条件中 的方向定义（由 1 指向 2）决定符号；理想导体内部场为零，外部切向 、法向 为零。
- 麦克斯韦方程组的四个方程分别对应：全电流定律、法拉第定律、磁通连续性、高斯定律——不要张冠李戴。
- 单位：； 单位 ； 单位 ； 单位 。
- 安培环路定理 中的电流是穿过以 为边界的任意曲面的电流，曲面选择不影响结果（因为 在恒定场成立）。
常考题型（续）：
- 用毕奥–萨伐尔定律或安培环路定理求对称分布的 （无限长直导线、圆环轴线、螺线管）。
- 极化/磁化电荷计算（已知 或 求 、）。
- 介质中 、 的求解（用高斯/安培环路定理的介质形式）。
- 位移电流的计算（平行板电容器充电过程）。
- 麦克斯韦方程组的微分/积分形式互推、验证给定场是否满足方程组。
- 边界条件的应用（求折射后的场分量）。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
静态场：场量不随时间变化，电场和磁场由各自源激发、相互独立。包括静电场、恒定电场、恒定磁场。§3.4 边值问题/唯一性定理、§3.6 分离变量法课件未涉及，不在本资料内。
3.1 静电场分析
3.1.1 基本方程和边界条件（回顾）
微分：，。积分：，。本构 。边界条件见 §2.7。
3.1.2 电位函数
。点电荷电位 ；叠加原理给出线/面/体分布的电位积分。
电位差：，即电场力将单位正电荷从 移至 做的功。
泊松方程 / 拉普拉斯方程：
泊松方程与拉普拉斯方程（⭐重要）：
泊松方程的推导：由 、、：
时即得拉普拉斯方程 。
电位边界条件的由来：由 得 （切向分量不跳变）；无自由面电荷时 ，而 ，故 。
理想导体表面：，。
例 3.1.1 电偶极子的电位与电场
、 相距 ，求远场 处 和 。
解：，，，，。
电偶极子远区电位（⭐重要）：
电偶极子远区电场（⭐重要）：
例 3.1.2 均匀电场 的电位分布
取原点 电位为零，。球坐标（）：；圆柱坐标（）：。
例 3.1.3 两无限大接地导体板间的均匀面电荷
、 处两无限大接地导体板，（）处有均匀面电荷 。求电位和电场。
解：两区域均满足 （一维），（），（）。边界条件：；；；。
解得：
3.1.3 导体系统的电容
孤立导体电容 ；两导体电容器 （）。电容仅取决于几何形状和介质。
计算步骤：① 选坐标系；② 假定 ；③ 求 ；④ 求 ；⑤ 。
部分电容（多导体系统）课件提及概念但未展开公式。
例 3.1.4 平行双线传输线的电容
导线半径 ，轴线间距 ，周围空气。单位长度电容：
解：，，。
例 3.1.5 同轴线单位长度电容
内导体半径 ，外导体内半径 ，填充介电常数 的均匀介质：
同轴线单位长度电容（⭐重要）：
，。
3.1.4 静电场的能量
点电荷系：（ 为除 外所有电荷在 处产生的电位——只含互有能）。
连续分布：（包含自有能+互有能）。
电容器：。
能量密度的推导（课件过程）
- 以体电荷为例，静电场总能量
把积分区域扩大到包围全部电荷的 （区域外 ，结果不变）。 2. 用 ：
- 用矢量恒等式 ，即 ；再注意 ：
- 令 ：、、，故 ，第一项为零：
- 对线性各向同性介质 ：
故能量密度为
静电场能量密度（⭐重要）：
。
例 3.1.6 均匀带电球体的电场能量
半径 ，体电荷密度 。（），（）。
也可用 验证（，），结果相同。
3.1.5 静电力（虚功原理）
广义坐标 ，广义力 。
恒电荷系统（ 不变，）：（ 表达式不能显含 ）。
恒电位系统（ 不变，）：（ 表达式不能显含 ）。
例 3.1.7 部分填充电介质的平行板电容器受力（课件仅给出题目）
极板面积 ，板间距 ，介电常数 的介质片填入深度 ，外加电压 。求介质片受力。（补充解：，恒电位 ，方向使介质片被吸入。）
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.2.1 基本方程和边界条件
恒定电场：。，，，，。
边界条件：（即 ）；（即 ）。
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
| 静电场（ 均匀介质） | 恒定电场（均匀导体） |
|---|---|
| ， | ， |
| 连续 | 连续 |
对偶关系 ，。若几何相同，（由 、 及 、 逐项对应得到）。
边界条件的来历与 §2.7 相同： 由 的小扁矩形回路（）得到； 由 的小扁圆柱体（）得到。
例 3.2.1 同轴线单位长度的绝缘电阻
内导体半径 ，外导体内半径 ，填充介电常数 、电导率 的非理想介质。
方法一（直接计算）：设电流 ，，，，，。单位长度 。
方法二（静电比拟）：由例 3.1.5 ，故 ，。
3.3 恒定磁场分析
3.3.1 基本方程和边界条件（回顾）
，，。边界条件见 §2.7。
3.3.2 磁位函数
矢量磁位 ：，库仑规范 。单位 。
磁矢位的泊松方程：（无源区 ）。
直角坐标分解为三个标量泊松方程，解类比静电位：
对线电流 ； 与 同方向。
磁矢位边界条件：；。
标量磁位 ：无自由电流区（）。
（拉普拉斯方程）。表达式类比静电位：，其中 （假想磁荷密度）。
静电位与磁标位比拟：，，，，。
3.3.3 电感
自感 （ 为与回路交链的磁链）。只与几何形状、尺寸、磁介质有关。
粗导体回路：（外自感+内自感），，。
互感 ，，。
纽曼公式的推导（课件过程）
- 回路 中的电流 在回路 上任一点产生的矢量磁位
- 的磁场与 交链的磁链
- 由互感定义 ：
- 同理
（点积可交换、二重积分可交换次序。）故 ，即
纽曼公式（⭐重要）：
例 3.3.3 同轴线单位长度的电感
内导体半径 ，外导体内半径 ，空气填充，电流 。
安培环路定理：（），（）。
外自感（）：，。
内自感（）：（分匝数 ），。
同轴线单位长度电感（⭐重要）：
例 3.3.5 长直导线与三角形导线回路的互感
长直导线电流 ，三角形回路底边长 ，与导线距离 ，顶角 。。穿过三角形的磁通：
长直导线与三角形回路的互感（⭐重要）：
3.3.4 恒定磁场的能量
个回路：。单回路 。
能量密度的推导（课件给出结论；推导为（补充））
由 ，代入 ：
用 及 ：
取 ：、、，面积分 ：
故
恒定磁场能量密度（⭐重要）：
。
例 3.3.7 同轴电缆单位长度磁场能量与自感
内导体半径 ，外导体内/外半径 、，电流 。
（内自感+外自感+外导体内自感）
3.3.5 磁场力
虚功原理：。
恒磁链（ 不变，）：。
恒电流（ 不变，）：。
3.5 镜像法
依据：唯一性定理——方程相同、边界条件相同，则解唯一。
思想：引入镜像电荷（虚设），撤走导体/介质，使原区域变为无限大均匀介质，避开求解泊松/拉普拉斯方程。
特点：对外等效（求解区域解正确）、对内不等效（镜像电荷所在区域不正确）。
适用范围：仅静电场/恒定电场/恒定磁场；几何结构简单；镜像电荷只能位于非求解区域。
步骤：① 猜镜像电荷个数/电量/位置；② 验证撤走导体/介质后原边界条件仍满足；③ 叠加原电荷+镜像电荷得求解区域场。
镜像法例 1 相交半无限大接地导体平面
点电荷 位于两相交（）接地导体平面角内。需 3 个镜像电荷：（关于平面 1 对称），（关于平面 2 对称），（关于角平分线对称）。
镜像法例 2 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
点电荷 距地面高度 。镜像电荷 位于对称位置（地面下 ）。
地面感应电荷面密度：。
感应电荷总量：。
镜像法例 3 点电荷对接地导体球面的镜像
点电荷 距球心 ，球半径 。镜像电荷 ，位于距球心 处。
镜像法例 4 点电荷对不接地导体球面的镜像
在例 3 基础上，球面为等位面且通量为零，需在球心再加一镜像电荷 。
任意点 电位：，其中 、 为 到 和 的距离， 为 到球心距离。
球面电位：。
镜像法例 5 点电荷 对"接地金属球壳 + 接地无限大金属平板"组合
需无穷系列镜像电荷： 关于平板的像 ， 关于球壳的像 ，…（无限迭代）。
镜像法例 6 点电荷对无限大介质分界面的镜像
在 中距界面 。 中场由 和 （位于对称位置）共同产生； 中场由 （位于 原位）产生。
第3章 易错点与常考题型
易错点：
- 电位 含任意常数 ，必须指定参考点（通常无穷远或接地导体）才有确定值。
- 泊松方程 的负号易丢。
- 电容计算 中 是两导体间的电位差（沿电场线积分），不要与单导体电位 混淆。
- 电场能量 对连续分布包含自有能；点电荷系 只含互有能。
- 虚功原理求静电力：恒电荷用 ，恒电位用 ，符号相反且 表达式的自变量必须匹配。
- 磁矢位 是矢量，直角坐标可分解为三个标量泊松方程，但柱/球坐标下不能简单分解。
- 自感 中 是磁链（穿过回路的磁通量×匝数），粗导体回路分内/外自感。
- 纽曼公式 仅适用于细导线回路。
- 磁场能量密度 与电场能量密度形式对称，但 、 不是独立变量。
- 镜像电荷必须位于非求解区域；镜像法只保证求解区域正确。
常考题型：
- 用高斯定理求 后积分求电位差、电容（平行板、圆柱、球形电容器）。
- 静电比拟法由电容求电导/绝缘电阻。
- 安培环路定理求 、 后求自感/互感/磁场能量。
- 虚功原理求静电力/磁场力（注意恒电荷/恒电位、恒磁链/恒电流的符号）。
- 镜像法（必考）：接地平面、接地球面、介质分界面——确定镜像电荷位置/电量，写电位/电场。
- 已知 或 用能量密度积分求总能量。
第4章 时变电磁场
4.1 波动方程
无源区（，）线性各向同性均匀介质（，）：
波动方程的推导（课件过程）
- 对 两边取旋度：
- 代入 ：
即
- 用矢量恒等式 ，并代入无源条件 ：
- 对 取旋度并代入 ，同理（并用 ）得 的方程。两式合写为
无源区域的波动方程（⭐重要）：
直角坐标分解为三个标量波动方程，如 。
4.2 电磁场的位函数
矢量位 ：。代入法拉第定律 ，得 （ 为标量位）。
洛伦兹规范：（使 、 唯一）。
达朗贝尔方程的推导（课件过程）
- 由 和 ，代入 （，）：
- 用 整理：
- 代入洛伦兹条件 ，梯度项为零，得矢量位的达朗贝尔方程：
- 对 代入 和 ：
- 再用洛伦兹条件消去 ，得标量位的达朗贝尔方程：
两式合写为
达朗贝尔方程（⭐重要）：
仅取决于 ， 仅取决于 ；形式对称，反映电磁场有限传播速度。
4.3 电磁能量守恒定律——坡印廷定理
电场/磁场能量密度：，。总能量密度 。
坡印廷矢量（能流密度）：，方向为能量传输方向，大小为单位时间垂直通过单位面积的能量。
坡印廷定理的推导（课件给出定理结论；以下推导为（补充））
- 取 ，用矢量恒等式
得
- 代入麦克斯韦方程 、：
- 对线性各向同性媒质，
故得微分形式：
- 对体积 积分并用散度定理，得积分形式：
积分形式：。
物理意义：进入体积 的电磁能 = 中增加的电磁能 + 中损耗的焦耳热。
4.4 唯一性定理
在闭合曲面 围成的有界区域 内，若给定 时刻 、 的初始值，以及 时 上 的切向分量（或 的切向分量），则 时 内的电磁场由 Maxwell 方程组唯一确定。
证明（补充；课件只给结论）：设 、 是满足同一方程、同一初始条件和同一边界条件的两组解。令差场 、，则差场满足无源 Maxwell 方程，且
定义电磁能量
由 、，对时间求导：
用 和散度定理：
因 ，有 ，面积分为零：
又 且 ，故 ，从而 。唯一性得证。
4.5 时谐电磁场
4.5.1 复数表示
时谐标量 ，复振幅 。
时谐矢量 ，。
对时间导数：。
4.5.2 复矢量的 Maxwell 方程
略去点和下标后写为 等。
4.5.3 复电容率和复磁导率
导电媒质（ 有限）：，等效复介电常数 。
电介质极化损耗：（）。同时有欧姆损耗和极化损耗：。
复磁导率：。
损耗角正切：（电介质/导电媒质）；（磁介质）。
导电媒质分类： 弱导电媒质（良绝缘体）； 良导体； 一般媒质。
4.5.4 亥姆霍兹方程
无源区时谐场波动方程变为：
亥姆霍兹方程（⭐重要）：
（无耗时实数；有耗时用 代替 ， 为复数）。
4.5.5 时谐场的位函数
，。洛伦兹条件 。
亥姆霍兹型达朗贝尔方程：，。
4.5.6 平均能流密度矢量
平均坡印廷矢量：
平均坡印廷矢量（⭐重要）：
平均能量密度：，（、 为实部）。
第4章 易错点与常考题型
易错点：
- 波动方程推导中 ，无源区 才能化为 。
- 达朗贝尔方程与泊松方程的区别：多 项（波动项）。
- 坡印廷矢量 是瞬时值；平均坡印廷矢量 。
- 洛伦兹规范 （时变场）与库仑规范 （恒定场）不同。
- 复介电常数 的虚部为负（因为 约定）；损耗角正切 为正。
- 亥姆霍兹方程 中 （无耗），有耗时 为复数。
常考题型：
- 由 Maxwell 方程组推导波动方程/亥姆霍兹方程。
- 计算坡印廷矢量/平均坡印廷矢量（给定 、 的瞬时或复数形式）。
- 验证给定时谐场是否满足 Maxwell 方程。
- 由 求 （用 ）。
- 导电媒质/电介质的等效复介电常数、损耗角正切计算。
第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波
定义：等相位面为无限大平面，且等相位面上 、 的方向和振幅都保持不变。
场函数（沿 传播，）：亥姆霍兹方程 ，通解 。
只取 方向行波 ：
理想介质中均匀平面波的场量（⭐重要）：
场量的推导（课件过程）
- 无源区、沿 传播的均匀平面波，场量与 、 无关。由 得 ，时变场中 ；同理由 得 。故 、 都垂直于传播方向——TEM 波。
- 设 ，由 ： $$ \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{e}_y\frac{\partial E_x}{\partial z}=\mathbf{e}_y(-jkE_x) $$ 故 $$ \mathbf{H}=-\frac{1}{j\omega\mu}\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{e}_y\frac{k}{\omega\mu}E_x=\mathbf{e}_y\frac{E_x}{\eta},\qquad \eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} $$
- 代入 即得场量表达式（上框）。 为实数，故 、 同相。
- 能量密度：。
为波阻抗，真空中 。
传播参数：
| 量 | 符号 | 公式 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 角频率 | rad/s | ||
| 周期 | s | ||
| 相位常数（波数） | rad/m | ||
| 波长 | m | ||
| 相速 | m/s |
真空中 。
能量：（电场能量密度=磁场能量密度）。
瞬时坡印廷矢量 ；平均坡印廷矢量 。
传播特点：TEM 波；振幅不变； 为实数，、 同相；无色散（ 与频率无关）；能量传输速度=相速。
例 5.1.1 均匀电磁波在无耗媒质中沿 传播
，，、 时电场幅值 。
，。由 、 达振幅：。
，。
例 5.1.2 均匀平面波在聚乙烯（）中传播
。，（待核对：课件计算 疑为笔误，应为 ），，。
例 5.1.3 自由空间平面波
求 处垂直穿过半径 圆平面的平均功率。
的复振幅 。，。
。
。
5.2 电磁波的极化
极化：空间给定点处 矢量端点随时间变化的轨迹。
设 。
| 极化类型 | 条件 |
|---|---|
| 线极化 | 或 |
| 圆极化 | 且 |
| 椭圆极化 | 其他情况 |
旋向判定（波沿 传播）： 为右旋圆极化（ 旋转方向与 成右手螺旋）； 为左旋圆极化。
极化分解：任何极化波可分解为两个正交线极化波的叠加；线极化波=两个旋向相反、振幅相等的圆极化波叠加；椭圆极化波=两个旋向相反、振幅不等的圆极化波叠加。
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
导电媒质 ，等效复介电常数 ，复波数 。
令传播常数 （ 衰减常数 Np/m， 相位常数 rad/m）：
瞬时值 。
磁场：，其中 为复波阻抗， 滞后 角度 。
传播参数的推导（课件"解方程"过程）
由 、，分离实部与虚部：
联立解得
开方即得
平均坡印廷矢量 。
传播特点：TEM 波；振幅指数衰减；、 不同相；有色散（ 与频率有关）。
弱导电媒质（）
（由 、 展开得到。）
衰减小； 近似等于无耗值；、 有小相位差。
良导体（）
良导体的衰减常数与相位常数（⭐重要）：
（由 、 展开得到。）
良导体中 滞后 45°。趋肤深度 （补充：课件未显式给出此名称但公式隐含）。
5.4 色散与群速
色散：传播特性（）随频率变化。无色散媒质中 与频率无关。
群速（波包包络传播速度）：。
无色散：；正常色散：；反常色散：。
第5章 易错点与常考题型
易错点：
- 波阻抗 （理想介质实数）与 （导电媒质复数）不同。
- 圆极化旋向判定： 右旋， 左旋——与传播方向成右手/左手螺旋，不要记反。
- 导电媒质中 、 公式中的 是损耗角正切，不要与 的 混淆。
- 良导体近似条件 与弱导电 不要搞混。
- 相速 ，群速 ——无色散时相等，有色散时不同。
- 平均坡印廷矢量 中的 因子（峰值振幅约定下）不要丢。
常考题型：
- 已知 、、 求 、、、。
- 已知 表达式求 、。
- 极化类型判定（给定两个正交分量）。
- 导电媒质中 、、 的计算（区分良导体/弱导电/一般）。
- 趋肤深度计算（良导体 ）。
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1 垂直入射
6.1.1 导电媒质→导电媒质
媒质 1（，）→ 媒质 2（，）。
入射波 ，反射波 ，透射波 。
边界条件 ：，。
解出 、：由第一式 ；代入第二式
故
垂直入射的反射系数与透射系数（⭐重要）：
、 为复数，。
6.1.2 理想介质→理想导体
，。
媒质 1 中合成波：（复振幅），瞬时值 。
驻波特点：空间项与时间项分离；电场振幅 ，磁场振幅 。
- 电场波节（振幅=0）：，即 。
- 电场波腹（振幅最大）：，即 。
- 、 空间错开 ，时间相位差 。
- 平均坡印廷矢量 （驻波不传输能量）。
6.1.3 理想介质→理想介质
、 均为实数。（实数）。
合成波为行驻波（混合波）：。
振幅 。
驻波比 。（行波）；（纯驻波）；（混合波）。
6.3 斜入射（理想介质分界面）
6.3.1 反射定律和折射定律
入射面为 平面。相位匹配条件：。
斯涅尔反射定律（⭐重要）：
斯涅尔折射定律（⭐重要）：
6.3.2 菲涅尔公式
垂直极化（ 垂直于入射面）：
垂直极化波的菲涅尔公式（⭐重要）：
非磁性媒质（）：，。
平行极化（ 平行于入射面）：
平行极化波的菲涅尔公式（⭐重要）：
非磁性媒质：。
（待核对） 课件幻灯片上平行极化非磁性公式的下标误标为 、，应为 、。
6.3.3 全反射与全透射
全反射（，光密→光疏）：当 时发生全反射，。
全反射临界角（⭐重要）：
时透射波为表面波（沿分界面传播，垂直方向指数衰减）。
全透射 / 布儒斯特角（仅平行极化，非磁性媒质）：
布儒斯特角（⭐重要）：
此时 ；垂直极化不发生全透射；任意极化波以 入射时反射波只有垂直极化分量（极化滤波）。
6.4 均匀平面波对理想导体平面的斜入射
无论入射角如何均发生全反射（）。
垂直极化：合成波沿 （平行界面）为行波，沿 （垂直界面）为驻波。 沿 方向，传播方向（）无电场分量但有磁场分量——TE 波（横电波）。
平行极化： 沿 方向，传播方向无磁场分量但有电场分量——TM 波（横磁波）。
第6章 易错点与常考题型
易错点：
- 反射系数 定义在分界面 上；、 一般为复数。
- （电场振幅关系），不是 。
- 驻波比 ，不是 （ 为复数时取模）。
- 菲涅尔公式中垂直/平行极化的定义：以入射面为参照，不是以分界面。
- 全反射条件：光密→光疏（）且 。
- 布儒斯特角仅对平行极化存在（非磁性媒质）；。
- 理想导体表面斜入射时合成波是 TE 波（垂直极化）或 TM 波（平行极化），不是 TEM 波。
常考题型：
- 垂直入射时求 、、驻波比 、波节/波腹位置。
- 斜入射时由斯涅尔定律求折射角。
- 菲涅尔公式计算反射/透射系数。
- 临界角/布儒斯特角计算。
- 理想导体表面反射的驻波分析。
第7章 导行电磁波
7.1 导行电磁波概论
假设：无限长规则直波导（横截面沿 不变）；理想导体壁（）；填充均匀无耗介质（、 实数）；无内源；时谐场沿 传播。
场矢量分解为横向分量（、）和纵向分量（、）。
横向-纵向关系的来历（课件过程）
设场量沿 按 变化，即 。把 、 写成分量式：
联立消去 （或 ），并利用 ，即得横向分量由纵向分量确定：
其中 为截止波数，， 为纵向传播常数。
分类：
- TEM 波：，
- TM 波：，
- TE 波：，
7.2 矩形波导
结构：宽边 、窄边 ；填充理想介质；理想导体壁。不能传输 TEM 波。
TM 波场分布
，由 确定。亥姆霍兹方程 ，边界条件 ，。
分离变量求解（课件过程）
设 ，代入
两边除以 ：
第一项只含 、第二项只含 ，故只能分别为常数。令 、，则
由边界 得 、；由 得 、。故
矩形波导的截止波数（⭐重要）：
所有场分量由 和横向-纵向关系式给出。
TE 波场分布
，由 确定。边界条件 。
同理设 ，边界条件给出 、，故取余弦：
同 TM 波公式。
模式简并：相同 的 TM${mn}$ 和 TE$$ 截止波数相同。TE${mn}$ 的 或 可为 0 但不能同时为 0；TM$$ 的 、 均不可为 0。
传播特性
传播常数 。
| 条件 | 传播情况 |
|---|---|
| 实数，截止（衰减），不能传播 | |
| 临界 | |
| 纯虚数，传播 |
截止频率 / 截止波长：
主模 TE$_{10}$： 时截止频率最低 ，截止波长最长 。
传播参数（ 时）：
7.5 谐振腔
矩形谐振腔：，理想导体壁，填充理想介质。
场分布：TE${mnp}$ 或 TM$$ 模。谐振条件：波导波长 （），即 。
谐振频率的推导：两端短路使场沿 形成驻波，腔长须为半波长的整数倍：
而 ，故
由 解出谐振频率：
矩形谐振腔的谐振频率（⭐重要）：
品质因数 （ 为腔壁欧姆损耗功率）。
第7章 易错点与常考题型
易错点：
- 矩形波导不能传输 TEM 波（单导体结构无法维持 TEM 场）。
- TE${mn}$ 的 、 可为零但不能同时为零；TM$$ 的 、 均不能为零。
- 主模 TE${10}$ 要求 ；若 则主模为 TE$$。
- 截止频率 以下波不能传播（ 为实数，指数衰减）；以上才能传播。
- 波导波长 （自由空间波长），相速 ——不违反相对论（信息以群速 传播）。
- 波阻抗 （传播模式下）。
- 谐振腔的 三个指标均可变化，TE/TM 命名不唯一（无唯一纵向）。
常考题型：
- 矩形波导 TE$_{10}$ 模的场分量写出。
- 给定 、、 判断哪些模式能传播。
- 截止频率/截止波长计算。
- 谐振腔谐振频率计算。
- 品质因数 的概念和定义式。
物理量与公式大总结
单位列中"（补充）"表示课件未明确给出该单位。
| 物理量名称 | 符号 | 单位 | 对应公式 | 适用条件 | 所在章节 |
|---|---|---|---|---|---|
| 单位矢量 | 1 | 任意非零矢量 | 1.1 | ||
| 梯度 | /m | 三系表达式 | 一阶偏导存在 | 1.3 | |
| 散度 | /m | 三系表达式 | 一阶偏导连续 | 1.4 | |
| 旋度 | /m | 行列式 | 一阶偏导连续 | 1.5 | |
| 拉普拉斯算子 | 1/m² | 三系表达式 | 二阶偏导连续 | 1.7 | |
| 真空介电常数 | F/m | 真空 | 2.2 | ||
| 真空磁导率 | H/m | 真空 | 2.3 | ||
| 电场强度 | V/m | ； | — | 2.2, 3.1 | |
| 电位移矢量 | C/m² | 线性各向同性介质 | 2.4 | ||
| 磁感应强度 | T | ； | — | 2.3 | |
| 磁场强度 | A/m | 线性各向同性介质 | 2.4 | ||
| 极化强度 | C/m² | 线性各向同性电介质 | 2.4 | ||
| 磁化强度 | A/m | 线性各向同性磁介质 | 2.4 | ||
| 极化电荷体密度 | C/m³ | — | 2.4 | ||
| 极化电荷面密度 | C/m² | 介质分界面 | 2.4 | ||
| 磁化电流体密度 | A/m² | — | 2.4 | ||
| 磁化电流面密度 | A/m | 介质分界面 | 2.4 | ||
| 电导率 | S/m | 线性各向同性导体 | 2.4 | ||
| 相对介电常数 | 1 | 线性各向同性电介质 | 2.4 | ||
| 相对磁导率 | 1 | 线性各向同性磁介质 | 2.4 | ||
| 电位 | V | ； | 静电场 | 3.1 | |
| 电容 | F | 两导体系统 | 3.1 | ||
| 静电场能量 | J | 线性介质 | 3.1 | ||
| 静电场能量密度 | J/m³ | 线性介质 | 3.1 | ||
| 矢量磁位 | T·m | ； | 库仑规范 | 3.3 | |
| 标量磁位 | A | ； | 区域 | 3.3 | |
| 自感 | H | 线性介质 | 3.3 | ||
| 互感 | H | 细导线回路 | 3.3 | ||
| 磁场能量 | J | 线性介质 | 3.3 | ||
| 磁场能量密度 | J/m³ | 线性介质 | 3.3 | ||
| 位移电流密度 | A/m² | 时变场 | 2.5 | ||
| 坡印廷矢量 | W/m² | 时变场 | 4.3 | ||
| 复介电常数 | F/m | 时谐场，导电媒质 | 4.5 | ||
| 损耗角正切 | 1 | 时谐场 | 4.5 | ||
| 波阻抗（理想介质） | Ω | 均匀平面波 | 5.1 | ||
| 相位常数 | （或 ） | rad/m | 理想介质 | 5.1 | |
| 相速 | m/s | 理想介质 | 5.1 | ||
| 衰减常数 | Np/m | 导电媒质 | 5.3 | ||
| 复波阻抗 | Ω | 导电媒质 | 5.3 | ||
| 趋肤深度 | m | 良导体（补充） | 5.3 | ||
| 群速 | m/s | 色散媒质 | 5.4 | ||
| 反射系数 | 1 | （垂直入射） | 平面波 | 6.1 | |
| 透射系数 | 1 | 平面波 | 6.1 | ||
| 驻波比 | 1 | $S=(1+ | \Gamma | )/(1- | |
| 临界角 | rad | 6.3 | |||
| 布儒斯特角 | rad | 平行极化，非磁性 | 6.3 | ||
| 截止波数 | rad/m | 矩形波导 | 7.2 | ||
| 截止频率 | Hz | 矩形波导 | 7.2 | ||
| 波导波长 | m | 矩形波导传播模式 | 7.2 | ||
| 谐振频率 | Hz | 矩形谐振腔 | 7.5 |
附：待核对与补充清单
待核对（课件图片不清晰或存在疑似笔误，建议对照教材或老师板书确认）：
- 亥姆霍兹定理中 的面积分项符号：课件图示读取为 （减号），多数教材写为加号，以教材为准。
- 课件《1.3–1.7》第 29–30 页为课本例题/习题题目列表（无解答过程），本资料仅收录其中被正文引用的结论。
- （新增） 例 5.1.2 中课件计算 ，但 ，疑为课件笔误。
- （新增） 课件《6 均匀平面波的反射和透射》平行极化非磁性媒质的菲涅尔公式幻灯片上，下标误标为 、，应为 、。
- （新增） 课件《5 均匀平面波在无界空间中的传播》弱导电媒质条件幻灯片上， 后的符号显示为""，应为""。
- （新增） 例 3.1.7（部分填充电介质平行板电容器受力）课件仅给出题目，未给出解答过程；本资料给出的解答为补充。
补充（课件之外的少量补充，均已在上文对应位置标注）：
- 标量三重积的行列式形式；"BAC−CAB"口诀。
- 圆柱系单位矢量对 、 的偏导为零；。
- 的数值与单位、电偶极矩单位 、 函数单位 。
- "先取散度再取梯度"无简化恒等式的说明。
- （新增） 趋肤深度 （良导体），课件给出 但未显式命名 。
- （新增） 例 3.1.7 的虚功原理求解过程和结果。
- （新增） 部分电容的概念（课件提及但未展开公式）。
（完）本资料完全基于所给课件整理：绪论 + §1.1–§1.8、§2.1–§2.7、§3.1–§3.3、§3.5、§4.1–§4.5、§5、§6、§7。§3.4、§3.6 课件未涉及。