冰的熔化热实验（冰块初温低于 0°C）

以下是针对冰的熔化热实验中，冰块初温低于 $0^\circ\text{C}$ 这一情况的公式推导过程。

推导核心：热平衡方程

根据能量守恒定律（热平衡原理），在绝热系统中，高温物体放出的热量等于低温物体吸收的热量：

$$Q_{放} = Q_{吸}$$

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1. 计算高温物体放出的热量 ($Q_{放}$)

高温物体包括：量热器内筒、搅拌器（统称量热器热容量或水当量 $K$）以及原有的水。 它们从初始温度 $t_1$ 降温到最终平衡温度 $t_2$。

$$Q_{放} = (m_{水}c_{水} + m_{内}c_{内} + m_{搅}c_{搅}) \cdot (t_1 - t_2)$$

为简化书写，通常令 $K = m_{内}c_{内} + m_{搅}c_{搅}$，则：

$$Q_{放} = (m_{水}c_{水} + K)(t_1 - t_2)$$

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2. 计算低温物体（冰）吸收的热量 ($Q_{吸}$)

这是推导的关键。由于冰块刚拿出时温度为 $t_{ice}$（低于 $0^\circ\text{C}$），它变成最终 $t_2$ 的水，需要经历三个阶段：

• 阶段一：固态升温（显热） 冰从初温 $t_{ice}$ 升温到熔点 $0^\circ\text{C}$。

  $$Q_1 = m_{ice} c_{ice} (0 - t_{ice})$$

  (注意：$t_{ice}$ 是负值，所以 $0 - t_{ice}$ 是正温差)

• 阶段二：相变熔化（潜热） 冰在 $0^\circ\text{C}$ 完全熔化成 $0^\circ\text{C}$ 的水。

  $$Q_2 = m_{ice} L_f$$

• 阶段三：液态升温（显热） 熔化后的冰水（质量仍为 $m_{ice}$）从 $0^\circ\text{C}$ 升温到最终平衡温度 $t_2$。

  $$Q_3 = m_{ice} c_{水} (t_2 - 0)$$

总吸热量为三者之和：

$$Q_{吸} = m_{ice} c_{ice} (0 - t_{ice}) + m_{ice} L_f + m_{ice} c_{水} (t_2 - 0)$$

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3. 建立方程并求解 $L_f$

根据 $Q_{放} = Q_{吸}$，联立上述式子：

$$(m_{水}c_{水} + K)(t_1 - t_2) = m_{ice} c_{ice} (0 - t_{ice}) + m_{ice} L_f + m_{ice} c_{水} (t_2 - 0)$$

我们要解出 $L_f$，需要进行移项变形：

1. 将含 $L_f$ 的项留在等式一边，其他项移到另一边：

   $$m_{ice} L_f = (m_{水}c_{水} + K)(t_1 - t_2) - m_{ice} c_{ice} (0 - t_{ice}) - m_{ice} c_{水} (t_2 - 0)$$

2. 两边同时除以 $m_{ice}$：

$$L_f = \frac{(m_{水}c_{水} + K)(t_1 - t_2) - m_{ice}c_{ice}(0 - t_{ice}) - m_{ice}c_{水}(t_2 - 0)}{m_{ice}}$$

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物理意义总结

这个公式的分子部分表示：（高温系统释放的总热量）减去（冰升温消耗的热量）减去（冰化水后升温消耗的热量），剩下的能量全部分配给了冰的相变（熔化）。最后除以冰的质量，即得单位质量的熔化热。