通信原理期末复习资料

依据课件：第 1、3、5、6、7 章（第 2 章确知信号、第 4 章信道、第 10 章信源编码课件未提供，未整理）。标注「补充」者为课件外内容，标注「待核对」者为课件表述不清晰处。

目录

• 第1章 基础知识
  • 1.1 通信的基本概念
  • 1.2 通信系统模型
  • 1.3 通信系统分类与通信方式
  • 1.4 信息及其度量
  • 1.5 通信系统主要性能指标
  • 1.6 易错点与常考题型
• 第3章 随机过程
  • 3.1 随机过程的基本概念
  • 3.2 平稳随机过程
  • 3.3 高斯随机过程
  • 3.4 平稳随机过程通过线性系统
  • 3.5 窄带随机过程
  • 3.6 白噪声
  • 3.7 易错点与常考题型
• 第5章 模拟调制系统
  • 5.1 幅度调制（线性调制）原理
  • 5.2 线性调制系统的抗噪声性能
  • 5.3 角度调制（非线性调制）原理
  • 5.4 调频系统的抗噪声性能
  • 5.5 各种模拟调制系统的比较
  • 5.6 易错点与常考题型
• 第6章 数字基带传输系统
  • 6.1 数字基带信号基本波形
  • 6.2 数字基带信号的时域表达与频谱特性
  • 6.3 基带传输的常用码型
  • 6.4 数字基带信号传输过程与码间串扰
  • 6.5 无码间串扰的基带传输特性
  • 6.6 基带传输系统的抗噪声性能
  • 6.7 易错点与常考题型
• 第7章 数字带通传输系统
  • 7.1 二进制数字调制原理
  • 7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能
  • 7.3 二进制数字调制系统的性能比较
  • 7.4 多进制数字调制原理
  • 7.5 多进制数字调制系统的抗噪声性能
  • 7.6 易错点与常考题型
• 附录 物理量与公式大总结

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第1章 基础知识

1.1 通信的基本概念

信息、消息、信号

• 信息（Information）：消息中所包含的有效内容，是传递的本质。
• 消息（Message）：信息具体的表现形式，如语音、文字、音乐、数据、图片。
• 信号（Signal）：消息的物理载体，如光信号、电信号。

通信：以语音、文字、图像、数据等为消息形式，通过电或光信号将信息由一方传输到另一方的过程。

通信发展三阶段：古代通信（烽火台、战鼓，光/声信号，无线）→ 近现代通信（1837 莫尔斯电报、1876 贝尔电话、1865 麦克斯韦预言电磁波、1888 赫兹实验证实、1894 波波夫无线电接收机、1901 马可尼跨大西洋、1966 高锟光纤、1946 ENIAC 触发数字通信）→ 当代通信（1G 模拟语音、2G 数字语音/文本、3G 多媒体、4G WLAN、5G 万物互联）。

波长与频率的关系

$$\lambda=\frac{c}{f}$$

• $\lambda$：波长，单位 $\mathrm{m}$；$f$：频率，单位 $\mathrm{Hz}$；$c=3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}$：电磁波在自由空间的传播速度。
• 适用条件：电磁波在自由空间（或近似空气）中传播。
• 用途：天线尺寸应与波长可比（波长越短，天线越短），故低频信号需调制到高频才能有效辐射。

1.2 通信系统模型

通信系统一般模型

信息源 → 发送设备 → 信道 → 接收设备 → 受信者，噪声源叠加于信道（集中表示分布于系统各处的噪声）。

• 信息源（信源）：把各种消息转换成原始电信号，如麦克风。
• 发送设备：产生适合于在信道中传输的信号（放大、滤波、调制、编码等）。
• 信道：将发送设备的信号传送到接收端的物理媒质，分有线（明线、电缆、光纤）与无线（大气/自由空间）。
• 噪声源：集中表示系统各处的噪声。
• 接收设备：从受到减损的接收信号中正确恢复原始电信号（放大、解调、译码等）。
• 受信者（信宿）：把原始电信号还原成消息，如扬声器。

信号的分类

• 模拟信号：电信号的参量取值连续（无穷多取值）。
• 数字信号：电信号的参量取值离散（有限个取值）。

基带信号：频谱从零频附近开始的信号，如语音 $300\ \mathrm{Hz}\sim3400\ \mathrm{Hz}$。

模拟通信系统模型

模拟信源 → 调制器 → 信道（+噪声）→ 解调器 → 模拟信宿。

• 调制：把基带信号变换成适合在信道中传输的信号（基带信号 → 频带信号），目的是匹配信道通频带、便于天线辐射、实现频分复用。
• 天线尺寸：$l\approx\lambda/4$ 或 $\lambda/2$，$\lambda=c/f$。频率越低，波长越长、天线越大，故低频基带信号不宜直接无线发射，必须先调制到高频。
• 解调：将已调信号中的调制信号恢复出来。

数字通信系统模型

信源 → 信源编码 → 信道编码 → 数字调制 → 信道（+噪声）→ 数字解调 → 信道译码 → 信源译码 → 信宿。

• 信源编码：①模数转换（抽样—时间离散、量化—幅值离散、编码—形成数字信号）；②压缩（去除数据冗余、视听冗余、相关性冗余），提高传输效率。
• 信源译码：一定程度上恢复冗余，并实现数模转换。
• 信道编码：针对信道特性，按一定规则加入保护成分、增强规律性，提高抗干扰能力；信道译码按逆规则解码并纠错。
• 数字基带调制：将数字信息变换成电平或脉冲表示的基带信号。
• 数字频带调制：将数字基带信号的频谱搬移到高频处（如 ASK、FSK），形成数字频带信号。

数字通信的优点：①抗干扰、抗噪声性能好（可判决再生，消除噪声积累）；②便于检错纠错、便于加密；③便于数据处理和存储；④便于设备集成化、微型化、智能化。

数字通信的缺点：①传输带宽往往较大；②对同步要求高。

1.3 通信系统分类与通信方式

分类

分类依据	类别
传输媒介	有线通信系统、无线通信系统
通信业务	电报、电话、数据、图像、视频
调制方式	基带传输系统、带通（调制）传输系统
信号特征	模拟通信系统、数字通信系统
工作波段	长波、中波、短波通信等
复用方式	频分复用、时分复用、码分复用

按信息传输方向分类

• 单工通信：信息只能单方向传输（广播、无线寻呼）。不能互通。
• 半双工通信：双方都能收发，但不能同时收发（同频对讲机）。优点：节约传输线路、节省频谱资源；缺点：频繁变换信道方向，效率低。根源是双方之间只有一条信道。
• 全双工通信：双方可同时进行双向传输（计算机通信、手机通信）。需要两条信道：上行（用户→基站）、下行（基站→用户）。

全双工的信道划分

• 频分双工（FDD）：划分两个独立频道分别用于上行和下行（如上行 $890\ \mathrm{MHz}$、下行 $935\ \mathrm{MHz}$）。优点：原理、技术简单；缺点：频率资源需求大，不对称业务时浪费频率资源。
• 时分双工（TDD）：只用一个频道（如 $2000\ \mathrm{MHz}$），划分不同时隙分别用于上行和下行。优点：节约频率资源，适用对称与不对称业务（可按流量调整时隙）；缺点：技术复杂，对收发时隙同步要求高（基站不同步会产生干扰）。

TDD 的帧与时隙：时间划分为帧（一般几 $\mathrm{ms}$），每帧再划分为若干时隙（每个 $0.{几}\ \mathrm{ms}$），不同时隙分配给上下行；时隙切换相当于对信号抽样，抽样间隔足够小则信号可无失真恢复，故仍属全双工。

我国 4G 频段（$\mathrm{MHz}$）：中国移动 TD-LTE 主要有 $1880\sim1890$、$2320\sim2370$、$2575\sim2635$；中国联通、中国电信 FDD-LTE 上行在 $1755\sim1780$ 段、下行在 $1850\sim1875$ 段（各运营商具体分配待核对）。TD-LTE 于 2013 年发牌，FDD-LTE 于 2015 年发牌。

1.4 信息及其度量

信息的本质：消除不确定性。信息量的大小等于该信息所消除的不确定性。

信息量的三条公理（香农）

$$I(x)=F\left[P(x)\right]$$

1. 单调递减性：$P(x)$ 越大，$I(x)$ 越小。
2. 相加性：若 $x$ 由相互独立的子消息组成，则

$$F(a\times b\times c\times\cdots)=F(a)+F(b)+F(c)+\cdots$$

3. 非负性：

$$P(x)=1,\quad I(x)=0;\qquad P(x)\to0,\quad I(x)\to\infty$$

由三条件导出信息量公式

满足"自变量相乘 = 函数相加"的函数为对数函数。取底 $n>1$ 时 $\log_n$ 单调递增，故取负号（或取倒数）以满足单调递减：

$$I(x)=-\log_n P(x)=\log_n\frac{1}{P(x)}=\log_{\frac{1}{n}}P(x)$$

验证：$0<P(x)\le1$ 时 $I(x)\ge0$；$P(x)=1$ 时 $I(x)=0$；$P(x)\to0$ 时 $I(x)\to\infty$，三条件均满足。香农证明了该形式是唯一同时满足三条件的函数形式。

信息量公式（重要）

$$I(x)=-\log_2 P(x)=\log_2\frac{1}{P(x)}\quad(\mathrm{bit})$$

• $P(x)$：消息 $x$ 发生的概率，无量纲，$0<P(x)\le1$；$I(x)$：信息量，单位 $\mathrm{bit}$（比特）。
• 适用条件：离散信源，各符号统计独立。
• 底为 $2$ 时单位为 $\mathrm{bit}$；底为 $\mathrm{e}$ 时单位为 $\mathrm{Nat}$（奈特）（补充：底为 10 时单位为 Hartley）。
• 存储容量换算：$1\ \mathrm{byte}=8\ \mathrm{bit}$，$1\ \mathrm{GB}=8\ \mathrm{Gbit}$。

例：$P=0.5$ 时 $I=1\ \mathrm{bit}$；$P=0.25$ 时 $I=2\ \mathrm{bit}$；$P=0.75$ 时 $I=\log_2(1/0.75)=0.415\ \mathrm{bit}$。

平均信息量（信源熵，重要）

设离散信源由 $M$ 个符号 $x_1,x_2,\dots,x_M$ 组成，各符号独立出现，概率为 $P(x_i)$，则

$$H(x)=-\sum_{i=1}^{M}P(x_i)\log_2 P(x_i)\quad(\mathrm{bit/符号})$$

• $H(x)$：信源熵（平均信息量），单位 $\mathrm{bit/符号}$；$M$：符号数；$P(x_i)$：第 $i$ 个符号的出现概率，$\sum_i P(x_i)=1$。
• 适用条件：离散无记忆信源（各符号独立）。
• 物理意义：信源的平均不确定性；熵是信息量的统计（概率加权）平均，不是算术平均。

最大熵：等概率时熵最大，

$$H_{\max}=\log_2 M\quad(\mathrm{bit/符号})$$

• 最随机（各符号等概）时熵最大，概率有倾向时熵减小；二进制等概时 $H_{\max}=1\ \mathrm{bit/符号}$。

某段消息的总信息量与平均信息量

$$I=\sum_{i=1}^{M}n_i\left[-\log_2 P(x_i)\right],\qquad \bar{I}=\frac{I}{N}$$

• $n_i$：第 $i$ 个符号在该消息中出现的次数；$N=\sum_i n_i$：消息总符号数；$\bar{I}$：平均每符号信息量，单位 $\mathrm{bit/符号}$。

例（课件例题3）：信源符号 $0,1,2,3$ 概率分别为 $3/8,1/4,1/4,1/8$，消息中分别出现 $23,14,13,7$ 次，共 $57$ 个符号。

$$I=23\log_2\frac{8}{3}+14\log_2 4+13\log_2 4+7\log_2 8=108\ \mathrm{bit}$$

$$\bar{I}=\frac{108}{57}=1.89\ \mathrm{bit/符号}$$

信源熵

$$H=\frac{3}{8}\log_2\frac{8}{3}+\frac{1}{4}\log_2 4+\frac{1}{4}\log_2 4+\frac{1}{8}\log_2 8=1.906\ \mathrm{bit/符号}$$

算术平均 $1.89$ 与统计平均 $1.906$ 的误差随符号数增加而减小；消息序列较长时用熵计算更方便。

1.5 通信系统主要性能指标

两大指标：有效性（传输"速度"，占用信道资源多少）与可靠性（传输"质量"，接收准确程度）。二者相互矛盾，设计时折中。

模拟通信系统

• 有效性：用有效传输频带 $B$ 度量。语音信号：SSB $B=4\ \mathrm{kHz}$，DSB $B=8\ \mathrm{kHz}$，FM $B=50\ \mathrm{kHz}$（DSB 带宽是 SSB 的两倍）。
• 可靠性：用接收端最终输出信噪比度量。

$$\frac{S}{N}=\frac{\text{信号的平均功率}}{\text{噪声的平均功率}}$$

数字通信系统——有效性

$$R_B=\frac{1}{T_s}\quad(\mathrm{Baud})$$

$$R_b=R_B\log_2 M\quad(\mathrm{b/s})$$

$$\eta=\frac{R_B}{B}\quad(\mathrm{Baud/Hz}),\qquad \eta_b=\frac{R_b}{B}\quad(\mathrm{b/(s\cdot Hz)})$$

• $T_s$：码元宽度，单位 $\mathrm{s}$；$R_B$：码元传输速率（波特率），单位 $\mathrm{Baud}$（简记 $\mathrm{B}$）；$M$：进制数（每码元携带 $\log_2 M$ 比特）；$R_b$：信息传输速率（比特率），单位 $\mathrm{b/s}$；$B$：传输带宽，单位 $\mathrm{Hz}$；$\eta$：频带利用率，单位 $\mathrm{Baud/Hz}$；$\eta_b$：比特频带利用率，单位 $\mathrm{b/(s\cdot Hz)}$。
• 适用条件：$M$ 进制等概传输。
• 二进制 $M=2$：$R_b=R_B$；四进制：$R_b=2R_B$；八进制：$R_b=3R_B$。
• $R_B$ 只取决于码元宽度 $T_s$，与进制数 $M$ 无关。

数字通信系统——可靠性

$$P_e=\frac{\text{错误码元数}}{\text{传输总码元数}},\qquad P_b=\frac{\text{错误比特数}}{\text{传输总比特数}}$$

• $P_e$：误码率（误符号率）；$P_b$：误信率（误比特率），均无量纲。
• 二进制时 $P_e=P_b$；$M$ 进制时一个码元错不必每比特都错，故 $P_b\le P_e$。

1.6 易错点与常考题型

易错点

1. 信息量公式的负号：$I=-\log_2P$，$P$ 越小信息量越大；$P=1$ 时 $I=0$，不是 $1\ \mathrm{bit}$。
2. 熵是概率加权平均 $\sum P_i I_i$，不是 $\frac{1}{M}\sum I_i$（等概时才相同）。
3. $R_b=R_B\log_2M$：$R_B$ 单位 Baud，$R_b$ 单位 b/s，二者仅在二进制时数值相等。
4. 频带利用率 $\eta=R_B/B$ 与 $\eta_b=R_b/B$ 单位不同，别混用；比较不同系统的有效性看 $\eta$，不能只看 $R_B$ 或 $R_b$。
5. 半双工"不能同时收发"的根源是只有一条信道；全双工必须两条信道（FDD 两个频段或 TDD 两个时隙方向）。
6. 有效性↔带宽/速率，可靠性↔信噪比/误码率，不要互换。

常考题型

• 给概率求单符号信息量、消息总信息量、平均信息量（熵）。
• 给 $R_B$、$M$、$B$ 求 $R_b$、$\eta$、$\eta_b$。
• 判断单工/半双工/全双工及 FDD/TDD 的优缺点。
• 画/填通信系统模型方框图并说明各框作用。

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第3章 随机过程

3.1 随机过程的基本概念

定义：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能用确切的时间函数描述。

• 角度1：随机过程是对应不同随机试验结果的样本函数的时间过程的集合，

$$\xi(t)=\left\{\xi_1(t),\xi_2(t),\dots,\xi_n(t)\right\}$$

• 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸，任意时刻的取值是一个随机变量，

$$\xi(t)=\left\{\xi(t_1),\xi(t_2),\dots,\xi(t_n)\right\}$$

一维分布函数与概率密度

$$F_1(x_1,t_1)=P\left[\xi(t_1)\le x_1\right],\qquad f_1(x_1,t_1)=\frac{\partial F_1(x_1,t_1)}{\partial x_1}$$

二维分布函数与概率密度

$$F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=P\left[\xi(t_1)\le x_1,\ \xi(t_2)\le x_2\right]$$

$$f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=\frac{\partial^2F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)}{\partial x_1\partial x_2}$$

$n$ 维分布函数与概率密度

$$F_n(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)=P\left[\xi(t_1)\le x_1,\dots,\xi(t_n)\le x_n\right]$$

$$f_n(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)=\frac{\partial^nF_n(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n}$$

数字特征

均值（一维）：

$$E\left[\xi(t)\right]=a(t)=\int_{-\infty}^{\infty}xf_1(x,t)\,\mathrm{d}x$$

方差（一维）：

$$D\left[\xi(t)\right]=\sigma^2(t)=E\left[\xi(t)-a(t)\right]^2=E\left[\xi^2(t)\right]-a^2(t)$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f_1(x,t)\,\mathrm{d}x-\left[\int_{-\infty}^{\infty}xf_1(x,t)\,\mathrm{d}x\right]^2$$

自相关函数（二维）：

$$R(t_1,t_2)=E\left[\xi(t_1)\xi(t_2)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_1x_2f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2$$

协方差函数（二维）：

$$B(t_1,t_2)=E\left\{\left[\xi(t_1)-a(t_1)\right]\left[\xi(t_2)-a(t_2)\right]\right\}=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2)$$

• 各量单位：$a(t)$ 与 $\xi(t)$ 同单位；$\sigma^2(t)$、$R$、$B$ 为 $\xi(t)$ 单位的平方（若 $\xi$ 为电压 $\mathrm{V}$，则为 $\mathrm{V^2}$）。
• 适用条件：各积分存在（绝对可积）。
• 各数字特征都是确知函数：均值、方差由一维分布决定，自相关、协方差由二维分布决定。

3.2 平稳随机过程

严平稳随机过程：若对任意 $n$ 和任意 $\Delta$，有

$$f_n(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)=f_n(x_1,\dots,x_n;t_1+\Delta,\dots,t_n+\Delta)$$

则称 $\xi(t)$ 为严平稳随机过程。其统计特性不随时间推移而改变。

一维：$f_1(x_1,t_1)=f_1(x_1,t_1+\Delta)=f_1(x_1)$。

二维：$f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_2(x_1,x_2;t_1+\Delta,t_2+\Delta)=f_2(x_1,x_2;\tau)$，其中 $\tau=t_2-t_1$。

广义平稳随机过程：若同时满足

$$E\left[\xi(t)\right]=a\quad(\text{常数})$$

$$R(t_1,t_2)=R(\tau),\qquad \tau=t_2-t_1$$

则称 $\xi(t)$ 为广义平稳（宽平稳）随机过程。

关系：严平稳必定是广义平稳；广义平稳不一定是严平稳。通信中的信号与噪声大多数可视为广义平稳。

各态历经性

随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。此时可用一次实现的"时间平均"代替"统计平均"：

$$\bar{a}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\,\mathrm{d}t=a$$

$$\bar{R}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau)\,\mathrm{d}t=R(\tau)$$

• $x(t)$：任一样本函数；$T$：平均时间，单位 $\mathrm{s}$；$\bar{a}$：时间平均均值；$\bar{R}(\tau)$：时间平均自相关函数。
• 关系：具有各态历经性的随机过程一定是广义平稳的，反之不一定成立。通信中的随机信号与噪声一般满足各态历经条件。

例3-1：$\xi(t)=A\cos(\omega_ct+\theta)$，$A$、$\omega_c$ 为常数，$\theta$ 在 $(0,2\pi)$ 内均匀分布。判断是否广义平稳、是否各态历经。

（1）统计平均：

$$E\left[\xi(t)\right]=A\,E\left[\cos(\omega_ct+\theta)\right]=\frac{A}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\omega_ct+\theta)\,\mathrm{d}\theta=0$$

$$R(t_1,t_2)=A^2E\left[\cos(\omega_ct_1+\theta)\cos(\omega_ct_2+\theta)\right]$$

$$=\frac{A^2}{2}E\left[\cos\omega_c(t_2-t_1)+\cos\left(\omega_c(t_1+t_2)+2\theta\right)\right]=\frac{A^2}{2}\cos\omega_c\tau$$

均值是常数、自相关函数只与 $\tau$ 有关，故 $\xi(t)$ 广义平稳。

（2）时间平均：

$$\bar{a}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}A\cos(\omega_ct+\theta)\,\mathrm{d}t=0=a$$

$$\bar{R}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}A^2\cos(\omega_ct+\theta)\cos\left[\omega_c(t+\tau)+\theta\right]\mathrm{d}t=\frac{A^2}{2}\cos\omega_c\tau=R(\tau)$$

故随机相位余弦波是各态历经的。

课件思考题（补充解答）：$\xi(t)=2\cos(2\pi t+\theta)$，$\theta$ 以 $1/2$ 概率取 $0$、以 $1/2$ 概率取 $\pi/2$，求 $E\left[\xi(t)\right]$ 与 $R(0,1)$。

$$E\left[\xi(t)\right]=2\cdot\frac{1}{2}\cos2\pi t+2\cdot\frac{1}{2}\cos\left(2\pi t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2\pi t-\sin2\pi t$$

$\xi(0)=2\cos\theta$，$\xi(1)=2\cos(2\pi+\theta)=2\cos\theta$，故

$$R(0,1)=E\left[\xi(0)\xi(1)\right]=4E\left[\cos^2\theta\right]=4\left(\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{2}\cdot0\right)=2$$

此过程均值随时间变化，不是平稳过程。

自相关函数的性质（重要）

（1）$R(0)=E\left[\xi^2(t)\right]$，即平均功率。

（2）偶函数：

$$R(\tau)=R(-\tau)$$

证明：$R(-\tau)=E\left[\xi(t)\xi(t-\tau)\right]$，令 $\lambda=t-\tau$，则 $t=\lambda+\tau$，

$$R(-\tau)=E\left[\xi(\lambda+\tau)\xi(\lambda)\right]=E\left[\xi(\lambda)\xi(\lambda+\tau)\right]=R(\tau)$$

（3）有界性：

$$\left|R(\tau)\right|\le R(0)$$

证明：对任意 $\tau$，

$$E\left[\xi(t)\pm\xi(t+\tau)\right]^2\ge0$$

$$E\left[\xi^2(t)\right]+E\left[\xi^2(t+\tau)\right]\pm2E\left[\xi(t)\xi(t+\tau)\right]\ge0$$

即 $R(0)+R(0)\pm2R(\tau)\ge0$，故 $R(\tau)\le R(0)$；结合偶函数得 $\left|R(\tau)\right|\le R(0)$。

（4）$R(\infty)=E^2\left[\xi(t)\right]=a^2$（$\xi(t)$ 与 $\xi(t+\infty)$ 相互独立时）。

（5）$R(0)-R(\infty)=E\left[\xi^2(t)\right]-E^2\left[\xi(t)\right]=\sigma^2$，即方差 = 平均功率 − 直流功率。

功率谱密度

确知信号：

$$P_f(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\left|F_T(f)\right|^2$$

随机过程（统计平均）：

$$P_\xi(f)=E\left[P_f(f)\right]=E\left[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\left|F_T(f)\right|^2\right]=\lim_{T\to\infty}\frac{E\left[\left|F_T(f)\right|^2\right]}{T}$$

• $F_T(f)$：截断信号 $f_T(t)$ 的频谱；$P_\xi(f)$：功率谱密度，单位 $\mathrm{W/Hz}$（若 $\xi$ 为电压，则 $\mathrm{V^2/Hz}$）。
• 性质：实偶性、非负性。

维纳—辛钦关系（重要）

$$P_\xi(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\,\mathrm{d}\tau$$

$$R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}P_\xi(f)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f\tau}\,\mathrm{d}f$$

即自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，是联系时域与频域分析的基本关系式。仅对平稳随机过程成立（广义平稳即可）。

平均功率

$$R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}P_\xi(f)\,\mathrm{d}f=P$$

例3-2：随机相位正弦波 $\xi(t)=A\cos(\omega_ct+\theta)$（$\theta$ 均匀分布）。由例3-1，$R(\tau)=\dfrac{A^2}{2}\cos\omega_c\tau$，故

$$P_\xi(f)=\frac{A^2}{4}\left[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)\right]$$

即在 $\pm f_c$ 处各有一根离散谱线，平均功率 $R(0)=\dfrac{A^2}{2}$。

课件思考题（补充解答）：$z(t)=m(t)\cos(\omega_ct+\theta)$，$m(t)$ 平稳且

$$R_m(\tau)=\begin{cases}1+\tau, & -1<\tau<0\\[2pt]1-\tau, & 0\le\tau<1\\[2pt]0, & \text{其他}\end{cases}$$

$\theta$ 在 $(0,2\pi)$ 均匀分布且与 $m(t)$ 独立，求 $R_z(\tau)$、$P_z(f)$。

$$R_z(\tau)=R_m(\tau)E\left[\cos(\omega_ct+\theta)\cos(\omega_c(t+\tau)+\theta)\right]=\frac{1}{2}R_m(\tau)\cos\omega_c\tau$$

由 $R_m(\tau)$ 为三角波，$P_m(f)=\operatorname{Sa}^2(\pi f)$，故

$$P_z(f)=\frac{1}{4}\left[P_m(f-f_c)+P_m(f+f_c)\right]=\frac{1}{4}\left[\operatorname{Sa}^2\left(\pi(f-f_c)\right)+\operatorname{Sa}^2\left(\pi(f+f_c)\right)\right]$$

3.3 高斯随机过程

定义：若随机过程 $\xi(t)$ 的任意 $n$ 维分布都服从正态分布，则称为高斯随机过程。其 $n$ 维概率密度为

$$f_n(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_n\vert B\vert^{1/2}}\exp\left[-\frac{1}{2\vert B\vert}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\vert B\vert_{jk}\frac{(x_j-a_j)(x_k-a_k)}{\sigma_j\sigma_k}\right]$$

其中

$$a_k=E\left[\xi(t_k)\right],\qquad \sigma_k^2=E\left[\xi(t_k)-a_k\right]^2$$

$$B=\begin{bmatrix}1&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&1&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&1\end{bmatrix},\qquad b_{jk}=\frac{E\left\{\left[\xi(t_j)-a_j\right]\left[\xi(t_k)-a_k\right]\right\}}{\sigma_j\sigma_k}$$

• $\left|B\right|$：归一化协方差矩阵的行列式；$\vert B\vert_{jk}$：其代数余子式；$b_{jk}$：归一化协方差（相关系数），无量纲；$a_k$ 单位同 $\xi$，$\sigma_k^2$ 为 $\xi$ 单位平方。

性质

1. 高斯过程的 $n$ 维分布只依赖各随机变量的均值、方差和归一化协方差，故只需研究其数字特征。
2. 若高斯过程在不同时刻取值互不相关（$b_{jk}=0,\ j\ne k$），则它们统计独立。此时 $B$ 退化为单位阵、$\left|B\right|=1$，代回定义式即得

$$f_n=\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_j}\exp\left[-\frac{(x_j-a_j)^2}{2\sigma_j^2}\right]=f_1(x_1,t_1)f_1(x_2,t_2)\cdots f_1(x_n,t_n)$$

3. 高斯过程经线性变换后仍是高斯过程（输出为无限多个高斯随机变量之和）。
4. 广义平稳的高斯过程也是严平稳的（均值与时间无关、协方差只与时间间隔有关 ⇒ $n$ 维分布与时间起点无关）。

一维高斯分布（重要）

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right]$$

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(t-a)^2}{2\sigma^2}\right]\mathrm{d}t$$

• $a$：均值，单位同 $x$；$\sigma^2$：方差，$\sigma$：标准差，单位同 $x$。

误差函数与互补误差函数

$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{x}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$$

$$\operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$$

• $\operatorname{erf}(x)$：误差函数，无量纲；$\operatorname{erfc}(x)$：互补误差函数，无量纲；$x$ 无量纲。
• 性质：$\operatorname{erf}(0)=0$，$\operatorname{erf}(\infty)=1$，$\operatorname{erf}(-x)=-\operatorname{erf}(x)$；$\operatorname{erfc}(0)=1$。

用误差函数表示正态分布函数

令 $u=\dfrac{t-a}{\sqrt{2}\sigma}$，得

$$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}\right)=1-\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}\right)$$

大参数近似：当 $x>2$ 时，

$$\operatorname{erfc}(x)\approx\frac{1}{x\sqrt{\pi}}\mathrm{e}^{-x^2}$$

补充：高斯分布的右尾常用 $Q$ 函数表示，

$$Q(x)=1-\Phi(x)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),\qquad P(\xi>x)=Q\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)$$

3.4 平稳随机过程通过线性系统

回顾（确知信号）

$$v_o(t)=h(t)*v_i(t),\qquad V_o(f)=H(f)V_i(f),\qquad H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\,\mathrm{d}\tau$$

输入输出的关系：设 $\xi_i(t)$ 为平稳随机过程，$h(t)$ 为线性时不变系统冲激响应，

$$\xi_o(t)=h(t)*\xi_i(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\xi_i(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

（1）输出均值

$$E\left[\xi_o(t)\right]=E\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\xi_i(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau\right]=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)E\left[\xi_i(t-\tau)\right]\mathrm{d}\tau$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\,\mathrm{d}\tau\cdot a=H(0)\,a$$

结论：输出均值 = 输入均值 × 系统直流增益 $H(0)$，为常数。

（2）输出自相关函数

$$R_o(t,t+\tau)=E\left[\xi_o(t)\xi_o(t+\tau)\right]$$

$$=E\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)\xi_i(t-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\int_{-\infty}^{\infty}h(\beta)\xi_i(t+\tau-\beta)\,\mathrm{d}\beta\right]$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)h(\beta)E\left[\xi_i(t-\alpha)\xi_i(t+\tau-\beta)\right]\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)h(\beta)R_i(\tau-\beta+\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta=R_o(\tau)$$

结论：输出自相关函数只与时间间隔 $\tau$ 有关，故输出仍为平稳随机过程。

（3）输出功率谱密度

$$P_o(f)=\mathscr{F}\left[R_o(\tau)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)h(\beta)R_i(\tau-\beta+\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\,\mathrm{d}\tau$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)h(\beta)\left[\int_{-\infty}^{\infty}R_i(\tau-\beta+\alpha)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta$$

括号内为 $P_i(f)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f\alpha}$，故

$$P_o(f)=P_i(f)\int_{-\infty}^{\infty}h(\alpha)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f\alpha}\mathrm{d}\alpha\int_{-\infty}^{\infty}h(\beta)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\beta}\mathrm{d}\beta$$

$$=H(-f)H(f)P_i(f)=\left|H(f)\right|^2P_i(f)$$

三个结论（重要）

$$E\left[\xi_o(t)\right]=H(0)\,a,\qquad R_o(\tau)=R_i(\tau)*h(\tau)*h(-\tau),\qquad P_o(f)=\left|H(f)\right|^2P_i(f)$$

• $H(f)$：系统传输函数；$H(0)$：直流增益；$a$、$R_i(\tau)$、$P_i(f)$：输入均值、自相关函数、功率谱密度。
• 适用条件：线性时不变系统，输入为平稳（广义平稳）随机过程。

3.5 窄带随机过程

定义：若随机过程 $\xi(t)$ 的频谱集中在中心频率 $f_c$ 附近、带宽为 $\Delta f$，且

$$\Delta f\ll f_c$$

则称为窄带随机过程。时域上其波形是频率接近 $f_c$、包络和相位缓慢变化的准正弦波：

$$\xi(t)=a_\xi(t)\cos\left[\omega_ct+\varphi_\xi(t)\right],\qquad a_\xi(t)\ge0$$

• $a_\xi(t)$：包络，非负；$\varphi_\xi(t)$：相位；$\omega_c=2\pi f_c$：载波角频率。

同相分量与正交分量

$$\xi(t)=a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t)\cos\omega_ct-a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t)\sin\omega_ct$$

$$\xi(t)=\xi_c(t)\cos\omega_ct-\xi_s(t)\sin\omega_ct$$

其中

$$\xi_c(t)=a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t),\qquad \xi_s(t)=a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t)$$

$\xi_c(t)$ 为同相分量，$\xi_s(t)$ 为正交分量。

同相、正交分量的统计特性（重要结论）

设 $\xi(t)$ 为均值为零、方差为 $\sigma_\xi^2$ 的平稳高斯窄带过程，则：

1. $\xi_c(t)$、$\xi_s(t)$ 同样是平稳高斯过程；
2. $E\left[\xi_c(t)\right]=E\left[\xi_s(t)\right]=0$；
3. 方差相同：

$$\sigma_\xi^2=\sigma_c^2=\sigma_s^2$$

4. 自相关函数相同：

$$R_\xi(0)=R_c(0)=R_s(0),\qquad R_c(\tau)=R_s(\tau)$$

5. 同一时刻的 $\xi_c$ 与 $\xi_s$ 互不相关（$R_{cs}(0)=R_{sc}(0)=0$），且统计独立。

推导要点：展开 $R_\xi(\tau)=E\left[\xi(t)\xi(t+\tau)\right]$，得含 $R_c$、$R_s$、$R_{cs}$、$R_{sc}$ 四项的式子。取 $\omega_c\tau=0$ 得

$$R_\xi(\tau)=R_c(\tau)\cos\omega_c\tau-R_{cs}(\tau)\sin\omega_c\tau$$

取 $\omega_c\tau=\pi/2$ 得

$$R_\xi(\tau)=R_s(\tau)\cos\omega_c\tau+R_{sc}(\tau)\sin\omega_c\tau$$

比较两式即得 $R_c(\tau)=R_s(\tau)$、$R_{cs}(\tau)=-R_{sc}(\tau)$，再由 $R_{cs}(0)=0$ 得同一时刻互不相关。

包络与相位的分布（重要）

由 $\xi_c=a_\xi\cos\varphi_\xi$、$\xi_s=a_\xi\sin\varphi_\xi$，反变换为

$$a_\xi=\sqrt{\xi_c^2+\xi_s^2},\qquad \varphi_\xi=\arctan\frac{\xi_s}{\xi_c}$$

雅可比行列式为 $a_\xi$，故

$$f(a_\xi,\varphi_\xi)=f(\xi_c,\xi_s)\left|\frac{\partial(\xi_c,\xi_s)}{\partial(a_\xi,\varphi_\xi)}\right|=f(\xi_c,\xi_s)\,a_\xi$$

代入两个独立高斯密度 $f(\xi_c)f(\xi_s)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_\xi^2}\exp\left(-\dfrac{\xi_c^2+\xi_s^2}{2\sigma_\xi^2}\right)$，得

$$f(a_\xi,\varphi_\xi)=\frac{a_\xi}{2\pi\sigma_\xi^2}\exp\left(-\frac{a_\xi^2}{2\sigma_\xi^2}\right)$$

对 $\varphi_\xi$ 积分（$0\sim2\pi$）得包络的一维分布——瑞利分布：

$$f(a_\xi)=\frac{a_\xi}{\sigma_\xi^2}\exp\left(-\frac{a_\xi^2}{2\sigma_\xi^2}\right),\qquad a_\xi\ge0$$

对 $a_\xi$ 积分（$0\sim+\infty$）得相位的一维分布——均匀分布：

$$f(\varphi_\xi)=\frac{1}{2\pi},\qquad 0\le\varphi_\xi\le2\pi$$

且 $f(a_\xi,\varphi_\xi)=f(a_\xi)f(\varphi_\xi)$，即就一维分布而言包络与相位统计独立。

结论：均值为零、方差为 $\sigma_\xi^2$ 的平稳高斯窄带过程，其包络一维分布为瑞利分布，相位一维分布为均匀分布，二者统计独立。

3.6 白噪声

定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声。

双边功率谱：

$$P_n(f)=\frac{n_0}{2},\qquad -\infty<f<\infty$$

单边功率谱：

$$P_n(f)=n_0,\qquad f\ge0$$

• $n_0$：单边功率谱密度，单位 $\mathrm{W/Hz}$（电压情形 $\mathrm{V^2/Hz}$）；$\dfrac{n_0}{2}$：双边功率谱密度。

自相关函数（维纳—辛钦）

$$R(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(\tau)$$

说明白噪声在任意两个不同时刻的随机变量互不相关。

平均功率

$$N=R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n_0}{2}\,\mathrm{d}f=\infty$$

白噪声带宽无限，平均功率无穷大，是理想化模型。实际中只要噪声功率谱均匀分布的频率范围远大于系统工作频带，即可视为白噪声。

高斯白噪声：取值服从高斯分布的白噪声。其在任意两个不同时刻的随机变量不仅互不相关，而且统计独立。

低通白噪声：白噪声通过理想矩形低通滤波器（或理想低通信道）后的输出。

$$P_n(f)=\frac{n_0}{2},\qquad \left|f\right|\le f_H$$

$$R(\tau)=n_0f_H\operatorname{Sa}(2\pi f_H\tau)$$

$$N=n_0f_H$$

• $f_H$：低通滤波器的截止频率，单位 $\mathrm{Hz}$；$\operatorname{Sa}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$。
• $R(\tau)$ 在 $\tau=\pm\dfrac{1}{2f_H},\pm\dfrac{3}{2f_H},\dots$ 处过零，相邻零点间隔 $\dfrac{1}{2f_H}$（与抽样定理联系）。

带通白噪声：白噪声通过理想矩形带通滤波器后的输出。

$$P_n(f)=\frac{n_0}{2},\qquad f_c-\frac{B}{2}\le\left|f\right|\le f_c+\frac{B}{2}$$

$$N=n_0B$$

• $f_c$：带通中心频率，单位 $\mathrm{Hz}$；$B$：带宽，单位 $\mathrm{Hz}$。
• 当 $B\ll f_c$ 时称窄带滤波器，输出为窄带高斯白噪声：

$$n(t)=n_c(t)\cos\omega_ct-n_s(t)\sin\omega_ct$$

$$E\left[n(t)\right]=E\left[n_c(t)\right]=E\left[n_s(t)\right]=0,\qquad R_n(0)=R_c(0)=R_s(0),\qquad \sigma_n^2=\sigma_c^2=\sigma_s^2$$

3.7 易错点与常考题型

易错点

1. 严平稳 ⇒ 广义平稳，反之不成立（高斯过程例外：广义平稳 ⇔ 严平稳）；各态历经 ⇒ 广义平稳，反之不成立。
2. $R(0)$ 是平均功率（含直流），$\sigma^2=R(0)-R(\infty)$ 才是交流功率。
3. $R(\tau)$ 是偶函数，$\left|R(\tau)\right|\le R(0)$，但 $R(\tau)$ 不一定单调。
4. 维纳—辛钦变换对中，正变换取 $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}$，反变换取 $\mathrm{e}^{+\mathrm{j}2\pi f\tau}$，指数符号别写反。
5. 白噪声 $R(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(\tau)$，只有 $\tau=0$ 相关；其平均功率为无穷大。
6. 窄带过程包络服从瑞利分布、相位服从均匀分布，前提是均值为零、平稳、高斯。
7. 通过线性系统：$P_o=\left|H(f)\right|^2P_i$，不是 $H(f)P_i$；均值乘 $H(0)$ 而不是 $H(f)$。
8. 双边谱 $n_0/2$ 与单边谱 $n_0$ 差 2 倍，代公式前先确认用的是哪一种。

常考题型

• 判断随机过程是否广义平稳/各态历经（随机相位正弦波是标准题型）。
• 由 $R(\tau)$ 求 $P(f)$、平均功率、方差；或反之。
• 证明 $R(\tau)=R(-\tau)$、$\left|R(\tau)\right|\le R(0)$。
• 白噪声通过理想低通/带通滤波器，求 $R(\tau)$、$N$、$\sigma^2$。
• 窄带高斯噪声的 $\xi_c$、$\xi_s$、包络、相位的分布与数字特征。

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第5章 模拟调制系统

基本概念

• 调制信号：来自信源的基带信号 $m(t)$。
• 载波：未受调制的周期性振荡信号，一般为正弦波

$$c(t)=A\cos\left(\omega_ct+\varphi_0\right)$$

• 载波调制：用调制信号控制载波的幅度、频率或相位。
• 已调信号：载波受调制后的信号，携带基带信息且适合信道传输。
• 幅度调制（线性调制）：$s_m(t)=m(t)\cos\omega_ct$，频谱为基带频谱的线性搬移。
• 角度调制（非线性调制）：控制频率或相位，频谱不再是线性搬移。

5.1 幅度调制（线性调制）原理

5.1.1 双边带（DSB）调制

时域

$$s_{\mathrm{DSB}}(t)=m(t)\cos\omega_ct$$

频域

$$S_{\mathrm{DSB}}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]$$

带宽

$$B_{\mathrm{DSB}}=2f_m$$

• $m(t)$：调制信号（基带），带宽 $f_m$，单位 $\mathrm{Hz}$；$\omega_c=2\pi f_c$：载波角频率；$f_m$：基带最高频率。
• 频谱含上边带、下边带，无载频分量；在 $m(t)$ 过零点处已调波反相（反相点）。

相干解调（同步检波）

接收端提供与已调载波严格同频同相的本地载波 $\cos\omega_ct$：

$$s_{\mathrm{DSB}}(t)\cos\omega_ct=m(t)\cos^2\omega_ct=\frac{1}{2}m(t)+\frac{1}{2}m(t)\cos2\omega_ct$$

经低通滤波器滤除 $2\omega_c$ 分量，得

$$m_o(t)=\frac{1}{2}m(t)$$

• 适用条件：必须同频同相，否则产生失真；DSB 不能包络检波（包络不是 $m(t)$）。

5.1.2 调幅（AM）

时域

$$s_{\mathrm{AM}}(t)=\left[m(t)+A_0\right]\cos\omega_ct$$

• $A_0$：外加直流分量，单位同 $m(t)$，须满足 $A_0\ge\left|m(t)\right|_{\max}$，否则出现过调制（包络失真）。

频域

$$S_{\mathrm{AM}}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]+\pi A_0\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]$$

带宽

$$B_{\mathrm{AM}}=2f_m$$

功率与调制效率（重要）

$$P_{\mathrm{AM}}=\frac{A_0^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}=P_c+P_S$$

$$\eta_{\mathrm{AM}}=\frac{P_S}{P_{\mathrm{AM}}}=\frac{\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}$$

• $P_c=\dfrac{A_0^2}{2}$：载波功率；$P_S=\dfrac{\overline{m^2(t)}}{2}$：边带功率；$\overline{m^2(t)}$：调制信号平均功率，单位 $\mathrm{W}$（或 $\mathrm{V^2}$）。
• 只有边带功率携带信息，载波分量不携带信息，故 AM 效率低。单频 $100\%$ 调制时 $m(t)=A_0\cos\omega_mt$，$\overline{m^2}=A_0^2/2$，$\eta_{\mathrm{AM}}=1/3$。

解调

• 相干解调：乘 $\cos\omega_ct$ 后低通，再隔直流，$m_o(t)=\frac{1}{2}m(t)$。
• 包络检波：二极管+RC（充电快、放电慢）取出上包络，再低通、隔直流。结构简单，AM 几乎都采用包络检波；条件是 $A_0+m(t)\ge0$。

5.1.3 单边带（SSB）调制

滤波法：先产生 DSB，再用理想（陡峭）带通滤波器取出一个边带，

$$S_{\mathrm{SSB}}(\omega)=S_{\mathrm{DSB}}(\omega)H(\omega)$$

技术难点：滤波器难以做到陡峭截止；调制信号含直流及特低频分量时滤波法不适用。

相移法：设单频 $m(t)=A_m\cos\omega_mt$，

$$s_{\mathrm{DSB}}(t)=A_m\cos\omega_mt\cos\omega_ct=\frac{1}{2}A_m\cos(\omega_c+\omega_m)t+\frac{1}{2}A_m\cos(\omega_c-\omega_m)t$$

保留上边带：

$$s_{\mathrm{USB}}(t)=\frac{1}{2}A_m\cos(\omega_c+\omega_m)t=\frac{1}{2}A_m\cos\omega_mt\cos\omega_ct-\frac{1}{2}A_m\sin\omega_mt\sin\omega_ct$$

保留下边带：

$$s_{\mathrm{LSB}}(t)=\frac{1}{2}A_m\cos(\omega_c-\omega_m)t=\frac{1}{2}A_m\cos\omega_mt\cos\omega_ct+\frac{1}{2}A_m\sin\omega_mt\sin\omega_ct$$

推广到一般 $m(t)$，引入希尔伯特变换 $\hat{m}(t)$（每个频率分量相移 $-\pi/2$，幅度不变）：

$$s_{\mathrm{SSB}}(t)=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_ct\pm\frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin\omega_ct$$

（"$-$"取上边带，"$+$"取下边带）

带宽

$$B_{\mathrm{SSB}}=f_m$$

• 优点：节省发射功率，带宽比 AM、DSB 减少一半；缺点：实现复杂（相移网络/希尔伯特变换器难做）。
• 解调：只能相干解调。

5.1.4 残留边带（VSB）调制

介于 SSB 与 DSB 之间的折中：不完全抑制一个边带，而是逐渐切割、残留一小部分。

$$S_{\mathrm{VSB}}(\omega)=\frac{1}{2}M(\omega+\omega_c)H(\omega)+\frac{1}{2}M(\omega-\omega_c)H(\omega)$$

相干解调后低通，得

$$\frac{1}{4}M(\omega)\left[H(\omega-\omega_c)+H(\omega+\omega_c)\right]$$

无失真条件（重要）

$$H(\omega-\omega_c)+H(\omega+\omega_c)=C,\qquad \left|\omega\right|\le\omega_H$$

即残留边带滤波器在载频两侧必须互补对称（滚降段中心频率处呈奇对称）。

带宽

$$f_m<B_{\mathrm{VSB}}<2f_m$$

• $H(\omega)$：残留边带滤波器传输函数；$C$：常数；$\omega_H=2\pi f_m$。

5.2 线性调制系统的抗噪声性能

分析模型：已调信号 $s_m(t)$ 与窄带高斯白噪声 $n(t)$ 经带通滤波器后进入解调器，输出 $m_o(t)$、$n_o(t)$。

制度增益（重要）

$$G=\frac{S_o/N_o}{S_i/N_i}$$

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{\overline{m_o^2(t)}}{\overline{n_o^2(t)}},\qquad \frac{S_i}{N_i}=\frac{\overline{s_m^2(t)}}{\overline{n_i^2(t)}}$$

• $S_i/N_i$：解调器输入信噪比；$S_o/N_o$：解调器输出信噪比；$G$：制度增益（无量纲）。

5.2.1 DSB 的抗噪声性能

输入信号功率：

$$S_i=\overline{s_{\mathrm{DSB}}^2(t)}=\overline{m^2(t)\cos^2\omega_ct}=\frac{\overline{m^2(t)}}{2}$$

输入噪声功率（$B=2f_m$）：

$$N_i=n_0B=2n_0f_m$$

相干解调后：

$$s_m(t)\cos\omega_ct=\frac{1}{2}m(t)+\frac{1}{2}m(t)\cos2\omega_ct\ \Rightarrow\ m_o(t)=\frac{1}{2}m(t),\quad S_o=\frac{\overline{m^2(t)}}{4}$$

$$n_i(t)\cos\omega_ct=\frac{1}{2}n_c(t)+\frac{1}{2}n_c(t)\cos2\omega_ct-\frac{1}{2}n_s(t)\sin2\omega_ct\ \Rightarrow\ n_o(t)=\frac{1}{2}n_c(t)$$

$$N_o=\frac{\overline{n_c^2(t)}}{4}=\frac{N_i}{4}$$

故

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{\overline{m^2(t)}}{4}\Big/\frac{n_0B}{4}=\frac{\overline{m^2(t)}}{2n_0f_m},\qquad G_{\mathrm{DSB}}=2$$

5.2.2 SSB 的抗噪声性能

$$s_{\mathrm{SSB}}(t)=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_ct\pm\frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin\omega_ct$$

$$S_i=\overline{s_{\mathrm{SSB}}^2(t)}=\frac{\overline{m^2(t)}}{8}+\frac{\overline{\hat{m}^2(t)}}{8}=\frac{\overline{m^2(t)}}{4}$$

（希尔伯特变换不改变平均功率：$\overline{\hat{m}^2}=\overline{m^2}$）

$$N_i=n_0B=n_0f_m$$

相干解调后

$$m_o(t)=\frac{1}{4}m(t),\qquad S_o=\frac{\overline{m^2(t)}}{16},\qquad n_o(t)=\frac{1}{2}n_c(t),\qquad N_o=\frac{N_i}{4}$$

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{\overline{m^2(t)}}{4n_0f_m},\qquad G_{\mathrm{SSB}}=1$$

DSB 与 SSB 比较（重要结论）

在相同输入信号功率、相同输入噪声功率谱密度、相同基带信号条件下（此时 SSB 信号幅度需相应提高 $\sqrt{2}$ 倍），二者输出信噪比相等：

$$\left(\frac{S_o}{N_o}\right)_{\mathrm{DSB}}=\left(\frac{S_o}{N_o}\right)_{\mathrm{SSB}}=\frac{\overline{m^2(t)}}{2n_0f_m},\qquad G_{\mathrm{DSB}}=2G_{\mathrm{SSB}}$$

若按课件中 $s_{\mathrm{SSB}}$ 的原始幅度（$S_i=\overline{m^2}/4$）计算，则 SSB 的 $S_o/N_o=\overline{m^2}/(4n_0f_m)$，DSB 的 $S_o/N_o=\overline{m^2}/(2n_0f_m)$，差异仅源于两者输入信号功率不同，并非抗噪能力不同。

二者抗噪声性能相同；但 SSB 带宽仅为 DSB 的一半，故 SSB 得到普遍应用。

5.2.3 AM 的抗噪声性能

相干解调

$$S_i=\frac{\overline{m^2(t)}}{2}+\frac{A_0^2}{2},\qquad N_i=n_0B=2n_0f_m$$

$$m_o(t)=\frac{1}{2}m(t),\quad S_o=\frac{\overline{m^2(t)}}{4};\qquad n_o(t)=\frac{1}{2}n_c(t),\quad N_o=\frac{N_i}{4}$$

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{\overline{m^2(t)}}{2n_0f_m},\qquad G_{\mathrm{AM}}=\frac{2\overline{m^2(t)}}{\overline{m^2(t)}+A_0^2}$$

包络检波（大信噪比）

输入为信号加噪声：

$$s_m(t)+n_i(t)=\left[A_0+m(t)+n_c(t)\right]\cos\omega_ct-n_s(t)\sin\omega_ct$$

包络：

$$E(t)=\sqrt{\left[A_0+m(t)+n_c(t)\right]^2+n_s^2(t)}$$

当 $A_0+m(t)\gg\sqrt{n_c^2(t)+n_s^2(t)}$ 时，

$$E(t)=\left[A_0+m(t)\right]\sqrt{1+\frac{2n_c(t)}{A_0+m(t)}}\approx A_0+m(t)+n_c(t)$$

利用 $\sqrt{1+x}\approx1+\frac{x}{2}$（$\left|x\right|\ll1$），隔直流后

$$m_o(t)=m(t),\quad n_o(t)=n_c(t);\qquad S_o=\overline{m^2(t)},\quad N_o=\overline{n_c^2(t)}=N_i$$

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{\overline{m^2(t)}}{2n_0f_m},\qquad G_{\mathrm{AM}}=\frac{2\overline{m^2(t)}}{\overline{m^2(t)}+A_0^2}$$

单频 100% 调制：$m(t)=A_0\cos\omega_mt$，$\overline{m^2(t)}=A_0^2/2$，$S_i=\frac{3}{4}A_0^2$，

$$G_{\mathrm{AM}}=\frac{2}{3},\qquad \frac{S_o}{N_o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{S_i}{n_0f_m}$$

小信噪比与门限效应

当 $A_0+m(t)\ll\sqrt{n_c^2(t)+n_s^2(t)}$ 时，令 $R(t)=\sqrt{n_c^2+n_s^2}$、$\theta(t)=\arctan\dfrac{n_s}{n_c}$，

$$E(t)\approx R(t)+\left[A_0+m(t)\right]\cos\theta(t)$$

信号被噪声"淹没"，输出信噪比急剧下降，出现门限效应。门限效应由包络检波器的非线性解调引起；相干解调时信号与噪声可分别解调，不存在门限效应。

三种线性调制汇总（重要）

调制方式	$B$	$S_o/N_o$	$G$
DSB	$2f_m$	$\dfrac{\overline{m^2}}{2n_0f_m}$	$2$
SSB	$f_m$	$\dfrac{\overline{m^2}}{4n_0f_m}$	$1$
AM（100%单频）	$2f_m$	$\dfrac{1}{3}\dfrac{S_i}{n_0f_m}$	$\dfrac{2}{3}$

5.3 角度调制（非线性调制）原理

一般表达式

$$s_m(t)=A\cos\left[\omega_ct+\varphi(t)\right],\qquad \theta(t)=\omega_ct+\varphi(t)$$

瞬时角频率：

$$\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}=\omega_c+\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}$$

• $A$：恒定振幅；$\omega_c$：载频；$\varphi(t)$：瞬时相偏；$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}$：瞬时角频偏。

调相（PM）

$$\varphi(t)=K_pm(t),\qquad s_{\mathrm{PM}}(t)=A\cos\left[\omega_ct+K_pm(t)\right]$$

$$\omega(t)=\omega_c+K_p\frac{\mathrm{d}m(t)}{\mathrm{d}t}$$

• $K_p$：调相灵敏度，单位 $\mathrm{rad/V}$（$m(t)$ 为电压时）。

调频（FM）

$$\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=K_fm(t),\qquad \varphi(t)=K_f\int_0^{t}m(\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

$$s_{\mathrm{FM}}(t)=A\cos\left[\omega_ct+K_f\int_0^{t}m(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right],\qquad \omega(t)=\omega_c+K_fm(t)$$

• $K_f$：调频灵敏度，单位 $\mathrm{rad/(s\cdot V)}$（或 $\mathrm{Hz/V}$ 的 $2\pi$ 倍）。

间接调制：间接调频——先将 $m(t)$ 积分再调相（积分器+调相器）；间接调相——先将 $m(t)$ 微分再调频（微分器+调频器）。二者本质相同，但调相占用频带不稳定，故调频应用更广。

最大频偏与调频指数（重要）

$$\Delta f=\frac{1}{2\pi}\max\left|K_fm(t)\right|$$

$$m_f=\frac{\Delta f}{f_m}$$

• $\Delta f$：最大频偏，单位 $\mathrm{Hz}$；$f_m$：调制信号最高频率，单位 $\mathrm{Hz}$；$m_f$：调频指数，无量纲。

单频调制

$$m(t)=A_m\cos\omega_mt$$

$$s_{\mathrm{FM}}(t)=A\cos\left(\omega_ct+\frac{K_fA_m}{\omega_m}\sin\omega_mt\right)=A\cos\left(\omega_ct+m_f\sin\omega_mt\right)$$

$$\Delta f=\frac{K_fA_m}{2\pi},\qquad m_f=\frac{K_fA_m}{\omega_m}=\frac{\Delta f}{f_m}$$

窄带调频（NBFM）

条件：最大瞬时相偏很小，

$$\left|K_f\int m(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right|_{\max}\ll\frac{\pi}{6}\quad(0.5)$$

展开并近似（$\cos x\approx1$，$\sin x\approx x$）：

$$s_{\mathrm{NBFM}}(t)\approx A\cos\omega_ct-\left[AK_f\int m(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right]\sin\omega_ct$$

频谱：

$$S_{\mathrm{NBFM}}(\omega)=\pi A\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{AK_f}{2}\left[\frac{M(\omega-\omega_c)}{\mathrm{j}(\omega-\omega_c)}-\frac{M(\omega+\omega_c)}{\mathrm{j}(\omega+\omega_c)}\right]$$

$$B_{\mathrm{NBFM}}=2f_m$$

与 AM 带宽相同，但 NBFM 的边带与载波有 $\pm\pi/2$ 相位关系（正交），故抗干扰性能优于 AM。具体区别：NBFM 边带受 $1/(\omega\mp\omega_c)$ 加权而频谱失真，下边带与 AM 反相（奇对称）；高质量通信（调频立体声广播、电视伴音）采用宽带调频。

宽带调频（WBFM）

单频调制时，先展开两个因子（傅里叶级数，单边形式）：

$$\cos\left(m_f\sin\omega_mt\right)=J_0(m_f)+\sum_{n=1}^{\infty}2J_{2n}(m_f)\cos2n\omega_mt$$

$$\sin\left(m_f\sin\omega_mt\right)=\sum_{n=1}^{\infty}2J_{2n-1}(m_f)\sin(2n-1)\omega_mt$$

代入 $s_{\mathrm{FM}}=A\cos\omega_ct\cos(m_f\sin\omega_mt)-A\sin\omega_ct\sin(m_f\sin\omega_mt)$，再用积化和差，得

$$s_{\mathrm{FM}}(t)=A\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(m_f)\cos\left(\omega_c+n\omega_m\right)t$$

其中 $J_n(m_f)$ 为第一类 $n$ 阶贝塞尔函数，$J_{-n}(m_f)=(-1)^nJ_n(m_f)$。

频谱由载频 $\omega_c$ 和无穷多对边频 $\omega_c\pm n\omega_m$ 组成，不是基带频谱的线性搬移。

卡森公式（重要）

有效带宽取幅度大于未调载波 10% 的边频（$J_n(m_f)>0.1$）；$m_f\ge1$ 时共约 $2(m_f+1)$ 个，故

$$B_{\mathrm{FM}}=2(m_f+1)f_m=2(\Delta f+f_m)$$

$$m_f\gg1:\ B_{\mathrm{FM}}\approx2\Delta f;\qquad m_f\ll1:\ B_{\mathrm{FM}}\approx2f_m$$

• 例（课件）：调频广播 $\Delta f=75\ \mathrm{kHz}$、$f_m=15\ \mathrm{kHz}$ → $m_f=5$、$B_{\mathrm{FM}}=2\times6\times15=180\ \mathrm{kHz}$；此时 $G_{\mathrm{FM}}=450$，FM/AM 信噪比为 75 倍、带宽为 6 倍。

功率

$$P_{\mathrm{FM}}=\overline{s_{\mathrm{FM}}^2(t)}=\frac{A^2}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n^2(m_f)=\frac{A^2}{2}=P_c$$

调频前后总功率不变，信息加载到频率上，振幅不变。

5.4 调频系统的抗噪声性能

输入

$$S_i=\overline{s_{\mathrm{FM}}^2(t)}=\frac{A^2}{2},\qquad N_i=n_0B_{\mathrm{FM}}=2n_0(m_f+1)f_m$$

大信噪比下的解调

鉴频器输入为

$$s_{\mathrm{FM}}(t)+n_i(t)=A\cos\left[\omega_ct+K_f\int m(\tau)\mathrm{d}\tau\right]+n_c(t)\cos\omega_ct-n_s(t)\sin\omega_ct$$

当 $A\gg\sqrt{n_c^2+n_s^2}$ 时，合成波

$$E(t)\approx A,\qquad \varphi(t)=\arctan\frac{n_s(t)}{A+n_c(t)}\approx\frac{n_s(t)}{A}$$

鉴频器输出（$K_d$ 为鉴频灵敏度，单位 $\mathrm{V/rad}$）：

$$m_o(t)=K_dK_fm(t),\qquad S_o=K_d^2K_f^2\,\overline{m^2(t)}$$

$$n_d(t)=K_d\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{K_d}{A}\frac{\mathrm{d}n_s(t)}{\mathrm{d}t}$$

噪声功率谱

$$H(f)=\mathrm{j}2\pi f\frac{K_d}{A}\ \Rightarrow\ P_{n_d}(f)=\left|H(f)\right|^2P_{n_s}(f)=\frac{4\pi^2K_d^2n_0}{A^2}f^2,\qquad \left|f\right|\le\frac{B_{\mathrm{FM}}}{2}$$

经带宽 $f_m$ 的低通：

$$N_o=\int_{-f_m}^{f_m}\frac{4\pi^2K_d^2n_0}{A^2}f^2\,\mathrm{d}f=\frac{8\pi^2K_d^2n_0f_m^3}{3A^2}$$

输出信噪比与制度增益（重要）

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{3A^2K_f^2\,\overline{m^2(t)}}{8\pi^2n_0f_m^3}$$

单频调制时 $\overline{m^2(t)}=1/2$、$m_f=K_f/(2\pi f_m)$：

$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{3}{2}m_f^2\frac{S_i}{n_0f_m}$$

$$G_{\mathrm{FM}}=\frac{S_o/N_o}{S_i/N_i}=3(m_f+1)m_f^2\approx3m_f^3\quad(m_f\gg1)$$

与 AM 比较

$$\frac{\left(S_o/N_o\right)_{\mathrm{FM}}}{\left(S_o/N_o\right)_{\mathrm{AM}}}=4.5m_f^2=4.5\left(\frac{B_{\mathrm{FM}}}{B_{\mathrm{AM}}}\right)^2\quad(m_f\gg1)$$

即 FM 以带宽换取信噪比：带宽扩大到 $m_f$ 倍，输出信噪比改善 $4.5m_f^2$ 倍。

门限效应

小信噪比时解调器输出信噪比随输入信噪比急剧下降，出现门限效应；门限值与 $m_f$ 有关，$m_f$ 越大门限越高，且门限以上改善越明显、门限以下下降越快。门限值以上：

$$\left(\frac{S_o}{N_o}\right)_{\mathrm{dB}}=\left(\frac{S_i}{N_i}\right)_{\mathrm{dB}}+10\lg G$$

5.5 各种模拟调制系统的比较

表达式与带宽

调制方式	时域表达式	带宽 $B$	设备复杂度
DSB	$s_{\mathrm{DSB}}=m(t)\cos\omega_ct$	$2f_m$	中等
AM	$s_{\mathrm{AM}}=\left[m(t)+A_0\right]\cos\omega_ct$	$2f_m$	简单
SSB	$s_{\mathrm{SSB}}=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_ct\pm\frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin\omega_ct$	$f_m$	复杂
VSB	$s_{\mathrm{VSB}}=s_{\mathrm{DSB}}*h_{\mathrm{VSB}}(t)$	$f_m<B<2f_m$	复杂
FM	$s_{\mathrm{FM}}=A\cos\left[\omega_ct+K_f\int m\mathrm{d}\tau\right]$	$2(m_f+1)f_m$	中等
PM	$s_{\mathrm{PM}}=A\cos\left[\omega_ct+K_pm(t)\right]$	由 $m(t)$ 变化率决定（待核对）	中等

抗噪声性能（$S_o/N_o$）与制度增益

比较条件：各系统接收端 $S_i$ 相同、噪声双边谱密度相同、$m(t)$ 为单频正弦、AM 为 100% 调制。

调制方式	$S_o/N_o$	$G$
DSB（相干）	$\dfrac{S_i}{n_0f_m}$	$2$
SSB（相干）	$\dfrac{S_i}{n_0f_m}$	$1$
AM（100%单频，包络检波）	$\dfrac{1}{3}\dfrac{S_i}{n_0f_m}$	$\dfrac{2}{3}$
FM（大信噪比）	$\dfrac{3}{2}m_f^2\dfrac{S_i}{n_0f_m}$	$3(m_f+1)m_f^2$

主要应用

• AM：中短波电台广播。
• DSB：应用较少。
• SSB：短波电台广播、话音频分复用、载波通信、数据传输。
• VSB：电视广播、数据传输。
• FM：超短波小功率电台（窄带 FM）、卫星通信、调频立体声广播、超短波电台（宽带 FM）。

选择原则：抗噪声性能优先选 FM（宽带）；频带利用率优先选 SSB；实现简单优先选 AM。综合看，有效性 SSB 最好、FM 最差；可靠性 FM 最好、AM 最差。

5.6 易错点与常考题型

易错点

1. AM 的频谱含载频冲激 $2\pi A_0\delta(\omega\mp\omega_c)$，DSB/SSB 不含；含载频是包络检波可行的原因，也是效率低的原因。
2. 过调制条件：$A_0<\left|m(t)\right|_{\max}$ 时包络检波失真；$100\%$ 调制是 $A_0=\left|m(t)\right|_{\max}$，此时单频 $\eta=1/3$、$G=2/3$。
3. $G_{\mathrm{DSB}}=2G_{\mathrm{SSB}}$ 只说明制度增益，二者输出信噪比相同；不能据此说 DSB 抗噪更好。
4. SSB 的 $S_i=\overline{m^2}/4$（不是 $\overline{m^2}/2$），因两项各占 $1/8$。
5. 窄带调频条件是对最大瞬时相偏 $\left|K_f\int m\mathrm{d}\tau\right|_{\max}\ll\pi/6$，不是对频偏。
6. 卡森公式 $B=2(m_f+1)f_m$：$m_f\gg1$ 时 $B\approx2\Delta f$；$m_f\ll1$ 时 $B\approx2f_m$。
7. FM 调频前后总功率不变（$A^2/2$），增加带宽改善的是信噪比，不是功率。
8. 门限效应：AM 包络检波、FM 鉴频都有；线性调制的相干解调没有。

常考题型

• 画 DSB/AM/SSB 波形与频谱，求带宽。
• 求 AM 的 $P_{\mathrm{AM}}$、$\eta_{\mathrm{AM}}$、边带功率、载波功率。
• 求 DSB/SSB/AM/FM 的 $S_i/N_i$、$S_o/N_o$、$G$ 并比较。
• 给 $A_m$、$f_m$、$K_f$ 求 $\Delta f$、$m_f$、$B_{\mathrm{FM}}$。
• 判断是否过调制、是否存在门限效应。
• 写出 SSB 相移法表达式并用希尔伯特变换表示。

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第6章 数字基带传输系统

基本概念

• 数字基带信号：未经载波调制的数字信号，频谱从零频或很低频率开始。
• 数字基带传输系统：不经载波调制直接传输数字基带信号，常用于传输距离不太远的场合。
• 数字带通传输系统：包括载波调制和解调过程的传输系统。

6.1 数字基带信号基本波形

波形	电平	优点	缺点
单极性 NRZ	$0$、$+E$	极性单一，易于产生	有直流，不适远距离；连 0/连 1 不易提取定时
双极性 NRZ	$+E$、$-E$	无直流，易于传输；判决门限恒为 $0$	连 0/连 1 不易提取定时
单极性 RZ	$0$、$+E$（脉宽 $\tau<T_s$）	连 1 时易提取定时	有直流，不适远距离
双极性 RZ	$+E$、$-E$（脉宽 $\tau<T_s$）	无直流；易提取定时；门限为 $0$	占空比小，带宽大
差分波形	用相邻码元电平是否跳变表示信息	消除极性反转影响（无绝对状态）	需差分编解码
多电平波形	如 $+3E,+E,-E,-3E$	每码元携带多比特，频带利用率高	抗噪能力下降

• $E$：基本电平幅度，单位 $\mathrm{V}$；$T_s$：码元宽度，单位 $\mathrm{s}$；$\tau$：脉冲宽度，单位 $\mathrm{s}$；占空比 $\tau/T_s$。
• 差分波形规则：$1$ → 电平跳变，$0$ → 电平不跳变。

6.2 数字基带信号的时域表达与频谱特性

时域表达

设二进制随机脉冲序列，每个码元为两个单脉冲之一：

$$s_n(t)=\begin{cases}g_1(t-nT_s), & \text{以概率 }P\\[2pt] g_2(t-nT_s), & \text{以概率 }1-P\end{cases}$$

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}s_n(t)$$

分解为稳态波与交变波：$s(t)=v(t)+u(t)$。

稳态波（周期为 $T_s$ 的确定信号）：

$$v(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}v_n(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[Pg_1(t-nT_s)+(1-P)g_2(t-nT_s)\right]$$

交变波：

$$u(t)=s(t)-v(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\left[g_1(t-nT_s)-g_2(t-nT_s)\right]$$

$$a_n=\begin{cases}1-P, & \text{以概率 }P\\[2pt] -P, & \text{以概率 }1-P\end{cases}$$

且 $E(a_n)=0$，$E(a_n^2)=P(1-P)$。

稳态波的功率谱

$v(t)$ 是周期信号，展为傅里叶级数，系数

$$C_m=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}v(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi mf_st}\,\mathrm{d}t=f_s\left[PG_1(mf_s)+(1-P)G_2(mf_s)\right]$$

$$P_v(f)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left|C_m\right|^2\delta(f-mf_s)$$

$$=\sum_{m=-\infty}^{\infty}f_s^2\left|PG_1(mf_s)+(1-P)G_2(mf_s)\right|^2\delta(f-mf_s)$$

交变波的功率谱

$$P_u(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{E\left[\left|U_T(f)\right|^2\right]}{T}=\lim_{N\to\infty}\frac{E\left[\left|U_T(f)\right|^2\right]}{(2N+1)T_s}$$

$$U_T(f)=\sum_{n=-N}^{N}a_n\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi fnT_s}\left[G_1(f)-G_2(f)\right]$$

由 $E(a_ma_n)=0\ (m\ne n)$、$E(a_n^2)=P(1-P)$ 得

$$E\left[\left|U_T(f)\right|^2\right]=(2N+1)P(1-P)\left|G_1(f)-G_2(f)\right|^2$$

$$P_u(f)=f_sP(1-P)\left|G_1(f)-G_2(f)\right|^2$$

总功率谱密度（重要）

$$P_s(f)=f_sP(1-P)\left|G_1(f)-G_2(f)\right|^2+\sum_{m=-\infty}^{\infty}f_s^2\left|PG_1(mf_s)+(1-P)G_2(mf_s)\right|^2\delta(f-mf_s)$$

• $f_s=1/T_s=R_B$：码元速率，单位 $\mathrm{Baud}$；$G_1(f)$、$G_2(f)$：$g_1(t)$、$g_2(t)$ 的频谱；$P$：发 $g_1$ 的概率。
• 第一项为连续谱（交变波，始终存在，决定带宽）；第二项为离散谱（稳态波，含直流与定时分量）。
• 若 $g_1(t)=-g_2(t)$ 且 $P=1/2$，则 $PG_1+(1-P)G_2=0$，离散谱消失。

例1：单极性矩形脉冲序列（$g_2(t)=0$，$P=1/2$）

$$P_s(f)=\frac{f_s}{4}\left|G_1(f)\right|^2+\frac{f_s^2}{4}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left|G_1(mf_s)\right|^2\delta(f-mf_s)$$

NRZ（$g_1(t)=G_{T_s}(t)$，$G_1(f)=T_s\operatorname{Sa}(\pi T_sf)$）：

$$P_s(f)=\frac{T_s}{4}\operatorname{Sa}^2(\pi T_sf)+\frac{1}{4}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\operatorname{Sa}^2(m\pi)\delta(f-mf_s)$$

RZ（$\tau=T_s/2$，$G_1(f)=\dfrac{T_s}{2}\operatorname{Sa}\left(\dfrac{\pi T_sf}{2}\right)$）：

$$P_s(f)=\frac{T_s}{16}\operatorname{Sa}^2\left(\frac{\pi T_sf}{2}\right)+\frac{1}{16}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\operatorname{Sa}^2\left(\frac{m\pi}{2}\right)\delta(f-mf_s)$$

• NRZ 的 $\operatorname{Sa}(m\pi)=0\ (m\ne0)$，离散谱只剩直流，无 $f_s$ 定时分量；RZ 的 $\operatorname{Sa}(m\pi/2)$ 在 $m=\pm1$ 处不为零，含 $f_s$ 定时分量。

例2：双极性矩形脉冲序列（$g_2(t)=-g_1(t)$，$P=1/2$）

$$P_s(f)=f_s\left|G_1(f)\right|^2+\sum_{m=-\infty}^{\infty}f_s^2\left[(2P-1)G_1(mf_s)\right]^2\delta(f-mf_s)$$

$P=1/2$ 时离散谱为零：

$$P_s(f)=f_s\left|G_1(f)\right|^2$$

NRZ：$P_s(f)=T_s\operatorname{Sa}^2(\pi T_sf)$；RZ：$P_s(f)=\dfrac{T_s}{4}\operatorname{Sa}^2\left(\dfrac{\pi T_sf}{2}\right)$。

结论

1. 二进制基带信号的带宽主要取决于时间波形的占空比；占空比越小，占用频带越宽。
2. "0"、"1"等概的双极性信号没有离散谱，即没有直流分量和定时分量。
3. 谱零点带宽（第一零点）：NRZ $B\approx f_s$，50% 占空比 RZ $B\approx2f_s$。

6.3 基带传输的常用码型

码型选择原则：①不含直流分量（适应远距离传输）；②电平跳变频繁（易于提取定时信息）；③具有一定规律性（具备内在检错能力）；④功率谱主瓣宽度窄（节省传输频谱）；⑤编译码简单（降低延时和成本）；⑥不受信源特性影响（适应性强）。

按电平数分：AMI、HDB3 为三元码（$+1,0,-1$），双相码、差分双相码为二元码。

AMI 码（传号交替反转码）

规则：$0$ 码保持 $0$；$1$ 码交替编为 $+1$、$-1$（正负电平交替）。

优点：无直流；有规律（非零电平必正负交替，违反即错）；编译码简单。缺点：长连 $0$ 时仍无跳变，定时提取困难。

HDB3 码（三阶高密度双极性码）

$1$ 码规则同 AMI（交替反转）；针对 4 个连 $0$ 作替换：

• 每 4 个连 $0$ 编为 $B00V$；
• $V$ 码（破坏码）与前一个非 $0$ 码同极性，且与前一个 $V$ 码极性交替（后者优先保证）；
• $B$ 码（调节码）用于使 $V$ 同时满足上述两条件：需调节时编为 $+1$ 或 $-1$（与前一个非 $0$ 码交替），不需调节时保持 $0$（即编为 $000V$）。

特点：最多 3 个码元的连 0 电平，必定随后跳变（破坏原连 0 结构），便于定时提取，且有内在检错能力；无直流。译码：凡与前一个非 $0$ 码同极性者即为 $V$，将含 $V$ 的 4 位恢复为连 $0$，其余按 $1$ 码/散 $0$ 恢复。广泛用于数字电话系统与计算机局域网。

双相码（曼彻斯特码）

规则：$1$ → $10$，$0$ → $01$（每码元中间必跳变）。

优点：无直流；电平跳变频繁，易提取定时；规律为电平最大宽度一个码元。缺点：带宽较大；受极性反转影响。

差分双相码

规则：每码元中间必跳变（便于提取定时）；码元开始处 $1$ → 跳变，$0$ → 不跳变。

优点：消除极性反转影响（消除绝对状态）。

6.4 数字基带信号传输过程与码间串扰

传输模型

$\{a_n\}$ → 信道信号形成器 $G_T(\omega)$ → 信道 $C(\omega)$ → 接收滤波器 $G_R(\omega)$ → 抽样判决器 → $\{a_n'\}$，噪声 $n(t)$ 加于信道。

• 信道信号形成器：压缩频带、变换波形；信道：引入失真并叠加白噪声；接收滤波器：滤除带外噪声、均衡波形；同步提取：给出抽样定时。

总传输特性：

$$H(\omega)=G_T(\omega)C(\omega)G_R(\omega),\qquad h(t)=\mathscr{F}^{-1}\left[H(\omega)\right]$$

各点波形

$$d(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-nT_s)$$

$$s(t)=d(t)*g_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)$$

$$r(t)=d(t)*h(t)+n(t)*g_R(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nh(t-nT_s)+n_R(t)$$

在 $t=kT_s+t_0$ 抽样：

$$r(kT_s+t_0)=a_kh(t_0)+\sum_{n\ne k}a_nh\left[(k-n)T_s+t_0\right]+n_R(kT_s+t_0)$$

• $a_kh(t_0)$：第 $k$ 个码元的有用值；$\sum_{n\ne k}a_nh[(k-n)T_s+t_0]$：码间串扰值；$n_R$：噪声。
• $t_0$：抽样时刻偏移，单位 $\mathrm{s}$。

码间串扰产生原因：系统传输总特性不理想，使前后码元波形畸变展宽、出现很长拖尾，其他码元的拖尾蔓延到当前码元的抽样时刻，对判决造成干扰。

6.5 无码间串扰的基带传输特性

时域条件（重要）

要消除码间串扰，需

$$\sum_{n\ne k}a_nh\left[(k-n)T_s+t_0\right]=0$$

由于 $a_n$ 随机，只能要求

$$h\left[(k-n)T_s+t_0\right]=0,\qquad n\ne k$$

即

$$h(kT_s+t_0)=\begin{cases}C, & k=0\\[2pt] 0, & k\ne0\end{cases}$$

取 $t_0=0$ 简写为

$$h(kT_s)=\begin{cases}C, & k=0\\[2pt] 0, & k\ne0\end{cases}$$

物理意义：$h(t)$ 在抽样时刻 $kT_s$ 处只有本码元有值，其余时刻均为零。

频域条件（奈奎斯特第一准则）的推导

$$h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\,\mathrm{d}\omega$$

令 $t=kT_s$，并把积分区间按每段长 $2\pi/T_s$ 分段求和：

$$h(kT_s)=\frac{1}{2\pi}\sum_{i}\int_{\frac{(2i-1)\pi}{T_s}}^{\frac{(2i+1)\pi}{T_s}}H(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega kT_s}\,\mathrm{d}\omega$$

作变量代换 $\lambda=\omega-\dfrac{2\pi i}{T_s}$，$\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}\lambda$：

$$h(kT_s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T_s}}^{\frac{\pi}{T_s}}\left[\sum_{i}H\left(\omega+\frac{2\pi}{T_s}i\right)\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega kT_s}\,\mathrm{d}\omega$$

另一方面，把 $\dfrac{1}{T_s}\sum_i H\left(\omega+\dfrac{2\pi}{T_s}i\right)$ 看成某个以 $2\pi/T_s$ 为周期的函数 $f(\omega)$ 的傅里叶级数，其系数为 $h(kT_s)$，即

$$f(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(kT_s)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kT_s\omega}$$

由无码间串扰的时域条件 $h(0)=C$、$h(kT_s)=0\ (k\ne0)$，得 $f(\omega)=C$，故

$$\sum_{i}H\left(\omega+\frac{2\pi}{T_s}i\right)=C,\qquad \left|\omega\right|\le\frac{\pi}{T_s}$$

奈奎斯特第一准则：基带系统的总特性 $H(\omega)$ 只要满足上式，均能消除码间串扰。

物理意义：把 $H(\omega)$ 按间隔 $2\pi/T_s$ 分段平移叠加到 $\left|\omega\right|\le\pi/T_s$ 内，若叠加结果为常数（等效理想矩形低通），则无码间串扰。

理想低通型

$$H(\omega)=\begin{cases}T_s, & \left|\omega\right|\le\dfrac{\pi}{T_s}\\[4pt] 0, & \left|\omega\right|>\dfrac{\pi}{T_s}\end{cases}$$

$$h(t)=\operatorname{Sa}\left(\frac{\pi t}{T_s}\right)$$

奈奎斯特带宽与最高频带利用率（重要）

$$f_N=\frac{1}{2T_s}\quad(\mathrm{Hz})$$

$$R_B=\frac{1}{T_s}=2f_N\quad(\mathrm{Baud})$$

$$\eta=\frac{R_B}{B}=\frac{1/T_s}{f_N}=2\quad(\mathrm{Baud/Hz})$$

• $f_N$：奈奎斯特带宽；$R_B$：无码间串扰时的最高码元速率；$\eta$：最高频带利用率。
• 理想低通 $h(t)$ 的拖尾按 $1/t$ 衰减，抽样定时误差敏感，且物理不可实现，故实际采用滚降。
• 例：$H(\omega)$ 为以 $\pm\omega_0$ 为中心的矩形时，可无码间串扰传输的最大速率 $R_B=\dfrac{\omega_0}{4\pi}$（按 $T_s=1/R_B$ 平移叠加验证）。

余弦滚降型

在理想低通特性上叠加滚降段，滚降段中心频率处呈奇对称即可满足奈奎斯特第一准则。

$$B=f_N+f_\Delta=(1+\alpha)f_N$$

$$\alpha=\frac{f_\Delta}{f_N},\qquad 0\le\alpha\le1$$

$$\eta=\frac{R_B}{B}=\frac{2f_N}{(1+\alpha)f_N}=\frac{2}{1+\alpha}$$

• $f_\Delta$：滚降带宽，单位 $\mathrm{Hz}$；$\alpha$：滚降系数，无量纲。
• 频带利用率范围：$1\le\eta\le2\ \mathrm{Baud/Hz}$；$\alpha=0$ 为理想低通（$\eta=2$），$\alpha=1$ 为升余弦（$\eta=1$）。
• 滚降越大，拖尾衰减越快、越易实现，但频带利用率越低。

6.6 基带传输系统的抗噪声性能

噪声模型

信道噪声 $n(t)$ 为均值为零的高斯白噪声，经接收滤波器后

$$P_{n_R}(f)=\frac{n_0}{2}\left|G_R(f)\right|^2$$

$$\sigma_n^2=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n_0}{2}\left|G_R(f)\right|^2\,\mathrm{d}f$$

抽样值为高斯随机变量：

$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\mathrm{e}^{-\frac{n^2}{2\sigma_n^2}}$$

• $\sigma_n^2$：输出噪声功率（方差），单位 $\mathrm{V^2}$；$n_0$：单边功率谱密度。

误码率计算（重要）

设发"1"时抽样值为 $A+n(kT)$、发"0"时为 $B+n(kT)$，判决门限 $V_d$。

发"1"错判为"0"：

$$P(0/1)=P\left[A+n(kT)<V_d\right]=\int_{-\infty}^{V_d}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\mathrm{e}^{-\frac{(x-A)^2}{2\sigma_n^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{V_d-A}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)$$

发"0"错判为"1"：

$$P(1/0)=P\left[B+n(kT)>V_d\right]=\int_{V_d}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\mathrm{e}^{-\frac{(x-B)^2}{2\sigma_n^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{V_d-B}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)$$

总误码率（全概率公式）：

$$P_e=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)$$

最佳判决门限

令 $\dfrac{\mathrm{d}P_e}{\mathrm{d}V_d}=0$：

$$P(1)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\mathrm{e}^{-\frac{(V_d-A)^2}{2\sigma_n^2}}-P(0)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\mathrm{e}^{-\frac{(V_d-B)^2}{2\sigma_n^2}}=0$$

两边取对数：

$$\ln\frac{P(0)}{P(1)}=\frac{(V_d-B)^2-(V_d-A)^2}{2\sigma_n^2}$$

解得

$$V_d^*=\frac{A+B}{2}+\frac{\sigma_n^2}{A-B}\ln\frac{P(0)}{P(1)}$$

• $A,B$：两种码元的抽样电平，单位 $\mathrm{V}$；$P(0),P(1)$：先验概率；$\sigma_n^2$：噪声功率。
• 等概 $P(0)=P(1)$ 时

$$V_d^*=\frac{A+B}{2}$$

双极性基带系统（$A=-B$，等概）

$$V_d^*=0,\qquad P_e=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)$$

单极性基带系统（$B=0$，等概）

$$V_d^*=\frac{A}{2},\qquad P_e=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n}\right)$$

结论：等概条件下，双极性系统的误码率低于单极性系统（相同峰值 $A$ 时，双极性判决距离为 $2A$，单极性为 $A$）。

6.7 易错点与常考题型

易错点

1. 单极性信号一定含直流；双极性等概时无直流、无离散谱（也无定时分量）。
2. 占空比越小，带宽越宽（RZ 带宽是 NRZ 的 2 倍）。
3. 功率谱连续谱由交变波决定，离散谱由稳态波决定；$g_1=g_2$ 时连续谱为零。
4. 双极性等概时离散谱为零，故不能从离散谱提取定时；定时信息靠电平跳变。
5. HDB3 中 $V$ 与前一个非零码同极性（破坏 AMI 交替规律），$B$ 只是调节码，可能为 0。
6. 奈奎斯特准则中的 $C$ 是常数，不是 $T_s$；理想低通时 $H(\omega)=T_s$ 才有 $C=T_s$。
7. $R_B=2f_N=1/T_s$ 是无码间串扰的最高速率；超过它必产生串扰。
8. 滚降系数 $\alpha$ 越大，带宽越大、频带利用率越低（$\eta=2/(1+\alpha)$）。
9. 单极性最佳门限 $A/2$，双极性为 $0$；误码率公式中单极性分母多一个因子 $2$。

常考题型

• 画 NRZ/RZ、单/双极性、差分波形，判断优缺点。
• 由 $G_1(f)$、$P$ 求功率谱（连续谱+离散谱），判断有无直流/定时分量。
• AMI、HDB3 编码与译码（重点，常给序列要求写出码型）。
• 判断给定 $H(\omega)$ 是否满足无码间串扰（画 $\sum_iH(\omega+2\pi i/T_s)$ 是否为常数）。
• 求理想低通/滚降系统的 $f_N$、$R_B$、$\eta$。
• 求最佳门限与误码率（单/双极性）。

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第7章 数字带通传输系统

基本概念

• 数字调制：用数字基带信号控制载波，把数字基带信号变换为数字带通信号。
• 数字解调：把数字带通信号还原成数字基带信号。
• 实现方法：①模拟调制法（把数字基带信号当作模拟信号的特例）；②键控法（利用数字信号离散取值特点开关键控载波）。
• 载波：

$$c(t)=A\cos\left(\omega_ct+\varphi_0\right)$$

7.1 二进制数字调制原理

7.1.1 2ASK（振幅键控）

时域

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng(t-nT_s),\qquad a_n=\begin{cases}1, & \text{以概率 }P\\[2pt] 0, & \text{以概率 }1-P\end{cases}$$

$$s_{2\mathrm{ASK}}(t)=s(t)\cos\omega_ct=\begin{cases}A\cos\omega_ct, & a_n=1\\[2pt] 0, & a_n=0\end{cases}$$

频谱

$s(t)$ 为单极性非归零矩形脉冲序列，其功率谱为 $P_s(f)$，则

$$P_{2\mathrm{ASK}}(f)=\frac{1}{4}\left[P_s(f-f_c)+P_s(f+f_c)\right]$$

带宽

$$B_{2\mathrm{ASK}}=2f_s$$

• $f_s=1/T_s$：码元速率（$\mathrm{Hz}$ 数值上与 $\mathrm{Baud}$ 相同）；$f_c$：载频。
• 产生：模拟相乘法（$s(t)\times\cos\omega_ct$）、数字键控法（开关电路）。
• 解调：包络检波法（全波整流+低通+抽样判决）、相干解调法（乘 $\cos\omega_ct$+低通+抽样判决）。
• 特点：设备简单、频带利用率较高；抗噪声性能差，对信道特性变化敏感。

7.1.2 2FSK（频移键控）

时域

$$s_{2\mathrm{FSK}}(t)=\begin{cases}A\cos(\omega_1t+\varphi_n), & a_n=1\\[2pt] A\cos(\omega_2t+\theta_n), & a_n=0\end{cases}$$

等价的通断叠加形式：

$$s_{2\mathrm{FSK}}(t)=s(t)\cos\omega_1t+\bar{s}(t)\cos\omega_2t$$

• $\omega_1$、$\omega_2$：两个载频；$\bar{s}(t)$：$s(t)$ 的反码。
• 相位连续/相位不连续两种；键控法产生的 2FSK 一般相位不连续。

频谱

$$P_{2\mathrm{FSK}}(f)=\frac{1}{4}\left[P_s(f-f_1)+P_s(f+f_1)\right]+\frac{1}{4}\left[P_s(f-f_2)+P_s(f+f_2)\right]$$

带宽

$$B_{2\mathrm{FSK}}=\left|f_2-f_1\right|+2f_s$$

解调：①包络检波法（两个带通滤波器分别取出 $f_1$、$f_2$ 支路，各自包络检波，抽样后比较判决）；②相干解调法；③过零检测法（单位时间内过零点数反映频率高低：放大限幅→微分→整流→脉冲展宽→低通，频率转换为幅度）。

特点：抗干扰能力较强，不受信道参数变化影响，适合衰落信道；占用频带较宽。ITU 建议数据速率低于 $1200\ \mathrm{bit/s}$ 时采用 2FSK。

7.1.3 2PSK（相移键控）与 2DPSK

2PSK（绝对相移键控）

$$\varphi_n=\begin{cases}0, & a_n=0\\[2pt] \pi, & a_n=1\end{cases}$$

$$s_{2\mathrm{PSK}}(t)=\begin{cases}A\cos\omega_ct, & a_n=0\\[2pt] -A\cos\omega_ct, & a_n=1\end{cases}=s(t)\cos\omega_ct$$

其中 $s(t)$ 为双极性不归零码。

频谱与带宽

$$P_{2\mathrm{PSK}}(f)=\frac{1}{4}\left[P_s(f-f_c)+P_s(f+f_c)\right],\qquad B_{2\mathrm{PSK}}=2f_s$$

解调：只能相干解调（乘同频同相载波→低通→抽样判决，门限为 0）。

相位模糊问题：同步提取的载波可能为 $\cos\omega_ct$，也可能为 $-\cos\omega_ct$，导致解调结果整体倒置（反码现象），故 2PSK 难以实际应用。

2DPSK（相对相移键控）

用前后相邻码元的载波相对相位差传递信息：

$$\Delta\varphi_n=\varphi_n-\varphi_{n-1}=\begin{cases}0, & a_n=0\\[2pt] \pi, & a_n=1\end{cases}$$

差分编码（遇 1 跳变，遇 0 不变）：

$$b_n=a_n\oplus b_{n-1}$$

差分译码：

$$a_n=b_n\oplus b_{n-1}$$

• $a_n$：绝对码；$b_n$：相对码；$b_{n-1}$：前一码元；初始参考位可任取 0 或 1（取反则得到另一组同样正确的相对码）。

2DPSK 解调

• 方法一（相干解调+差分译码）：2PSK 相干解调得到 $b_n$，再差分译码得 $a_n$。
• 方法二（差分相干解调）：已调信号延时 $T_s$ 后与自身相乘，经低通、抽样判决直接得 $a_n$（无需恢复载波，故无相位模糊问题）。

7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能

假设：信道为恒参信道，在信号频带内具有理想矩形传输特性；信道噪声为加性高斯白噪声，且只对接收端产生影响。

信噪比定义（重要）

$$r=\frac{a^2}{2\sigma_n^2}$$

• $a$：信号幅度（2ASK 中为"1"码幅度，2FSK/2PSK 中为载波幅度），单位 $\mathrm{V}$；$\sigma_n^2$：解调器输入端窄带噪声方差，单位 $\mathrm{V^2}$；$r$：解调器输入端信噪比，无量纲。

7.2.1 2ASK 的抗噪声性能

相干解调

$$P_e=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0),\qquad P(1)=P(0)=\frac{1}{2}$$

最佳门限 $b^*=a/2$，故

$$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{a}{2\sqrt{2}\sigma_n}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{r}{4}}\right)$$

大信噪比近似：

$$P_e\approx\frac{1}{\sqrt{\pi r}}\mathrm{e}^{-\frac{r}{4}}\qquad(r\gg1)$$

包络检波

发"1"时抽样值服从广义瑞利分布，发"0"时服从瑞利分布：

$$f_1(V)=\frac{V}{\sigma_n^2}I_0\left(\frac{aV}{\sigma_n^2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{V^2+a^2}{2\sigma_n^2}},\qquad f_0(V)=\frac{V}{\sigma_n^2}\mathrm{e}^{-\frac{V^2}{2\sigma_n^2}}$$

$$P(0/1)=1-Q\left(\sqrt{2r},b_0\right),\qquad P(1/0)=\mathrm{e}^{-\frac{b_0^2}{2}}$$

$$P_e=\frac{1}{2}\left[1-Q\left(\sqrt{2r},b_0\right)\right]+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{b_0^2}{2}}$$

• $I_0(\cdot)$：零阶修正贝塞尔函数；$Q(\alpha,\beta)$：Marcum $Q$ 函数；$b_0=b/\sigma_n$：归一化门限。
• 最佳归一化门限：$r\gg1$ 时 $b_0^*=\sqrt{r/2}$（即 $b^*=a/2$）；$r\ll1$ 时 $b_0^*=2$。
• 采用最佳门限时：

$$P_e=\frac{1}{4}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{r}{4}}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{4}}$$

• 大信噪比：

$$P_e\approx\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{4}}$$

7.2.2 2FSK 的抗噪声性能

相干解调

两路输出抽样值之差 $z=x_1-x_2$，发"1"时 $E(z)=a$、$\sigma_z^2=2\sigma_n^2$：

$$P(0/1)=P(z<0)=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_z}\mathrm{e}^{-\frac{(z-a)^2}{2\sigma_z^2}}\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{a}{2\sigma_n}\right)$$

$$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{r}{2}}\right)$$

包络检波

$$P(0/1)=P(V_1<V_2)=\int_0^{\infty}\frac{V_1}{\sigma_n^2}I_0\left(\frac{aV_1}{\sigma_n^2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{2V_1^2+a^2}{2\sigma_n^2}}\mathrm{d}V_1=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}$$

$$P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}$$

7.2.3 2PSK 与 2DPSK 的抗噪声性能

2PSK 相干解调

等概时最佳门限 $b^*=0$：

$$P(0/1)=P(x\le0)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma_n}\right),\qquad P(1/0)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)$$

$$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\right)$$

2DPSK 相干解调+差分译码

设 2PSK 解调误码率为 $P_e$，差分译码使误码率变为

$$P_e'=2(1-P_e)P_e$$

• $P_e\ll1$ 时 $P_e'\approx2P_e$；$P_e\approx1/2$ 时 $P_e'\approx P_e\approx1/2$。差分译码总使误码率增加，增加系数在 $1\sim2$ 之间。
• 故

$$P_e'\approx\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\right)$$

2DPSK 差分相干解调

设当前码元与其前一码元同相（判为"0"）。两路抽样值分别为

$$y_1(t)=\left[a+n_{1c}(t)\right]\cos\omega_ct-n_{1s}(t)\sin\omega_ct$$

$$y_2(t)=\left[a+n_{2c}(t)\right]\cos\omega_ct-n_{2s}(t)\sin\omega_ct$$

相乘并低通：

$$x=\frac{1}{2}\left[a+n_{1c}\right]\left[a+n_{2c}\right]+\frac{1}{2}n_{1s}n_{2s}$$

判为"1"（错判）的概率

$$P(1/0)=P(x<0)=P\left\{V_1<V_2\right\}$$

其中

$$V_1=\sqrt{\left(2a+n_{1c}+n_{2c}\right)^2+\left(n_{1s}+n_{2s}\right)^2},\qquad V_2=\sqrt{\left(n_{1c}-n_{2c}\right)^2+\left(n_{1s}-n_{2s}\right)^2}$$

$V_1$ 服从广义瑞利分布、$V_2$ 服从瑞利分布：

$$f(V_1)=\frac{V_1}{2\sigma_n^2}I_0\left(\frac{aV_1}{\sigma_n^2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{V_1^2+4a^2}{4\sigma_n^2}},\qquad f(V_2)=\frac{V_2}{2\sigma_n^2}\mathrm{e}^{-\frac{V_2^2}{4\sigma_n^2}}$$

积分得

$$P(1/0)=P(V_1<V_2)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r}$$

由对称性 $P(0/1)=P(1/0)$，故

$$P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r}$$

二进制系统误码率汇总（重要）

调制方式	相干解调	非相干解调
2ASK	$\dfrac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\dfrac{r}{4}}\right)$	$\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-r/4}$
2FSK	$\dfrac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\dfrac{r}{2}}\right)$	$\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-r/2}$
2PSK	$\dfrac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\right)$	—
2DPSK	$\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\right)$（相干+差分译码）	$\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-r}$（差分相干）

7.3 二进制数字调制系统的性能比较

误码率比较

• 相干解调：$P_{e,2\mathrm{PSK}}<P_{e,2\mathrm{FSK}}<P_{e,2\mathrm{ASK}}$；2PSK 比 2FSK 好 $3\ \mathrm{dB}$，2FSK 比 2ASK 好 $3\ \mathrm{dB}$。
• 非相干解调：$P_{e,2\mathrm{DPSK}}<P_{e,2\mathrm{FSK}}<P_{e,2\mathrm{ASK}}$；相邻两者相差约 $3\ \mathrm{dB}$。
• 相干解调比非相干解调约好 $3\ \mathrm{dB}$（2DPSK 差分相干与 2PSK 相干也约差 $3\ \mathrm{dB}$）。

频带宽度

$$B_{2\mathrm{ASK}}=B_{2\mathrm{PSK}}=B_{2\mathrm{DPSK}}=2f_s$$

$$B_{2\mathrm{FSK}}=\left|f_2-f_1\right|+2f_s$$

2FSK 带宽最宽，频带利用率最低。

判决门限与信道适应能力

• 2ASK：等概时最佳门限 $a/2$，与接收信号幅度有关，随信道特性变化而变，需自适应设置。
• 2FSK：等概时最佳门限为 $0$（比较判决），不需人为设置门限，对信道变化不敏感。
• 2PSK/2DPSK：等概时门限为 $0$，但 2PSK 存在相位模糊。

选择原则

• 抗噪声性能优先：相干 2PSK、2DPSK；2ASK 最不可取。
• 频带利用率优先：相干 2PSK、2DPSK、2ASK；2FSK 最不可取。
• 功率利用率优先：相干 2PSK、2DPSK；2ASK 最不可取。
• 随参信道（衰落）：2FSK 适应能力最好。

综合评价：ASK 设备简单，但抽样判决器不易工作在最佳状态；PSK/DPSK 传输效率高、抗噪性能优于 ASK/FSK，其中绝对 2PSK 因相位模糊少用，MDPSK 应用更广。

7.4 多进制数字调制原理

目的：一个码元传输多个比特，提高频带利用率。$M$ 进制每码元携带 $\log_2M$ 比特。

7.4.1 MASK（多进制振幅键控）

$$s_{M\mathrm{ASK}}(t)=\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng(t-nT_s)\right]\cos\omega_ct$$

• $a_n\in\{0,1,\dots,M-1\}$ 对应 $M$ 个电平（多电平调制）。
• 带宽与 2ASK 相同：

$$B_{M\mathrm{ASK}}=2f_s$$

• 基带信号频带利用率最高 $2\ \mathrm{b/(s\cdot Hz)}$；2ASK 最高 $1\ \mathrm{b/(s\cdot Hz)}$；MASK 可超过 $1\ \mathrm{b/(s\cdot Hz)}$。
• 解调：相干解调（多电平判决）。

7.4.2 MFSK（多进制频移键控）

用 $M$ 个不同频率分别表示 $M$ 个码元。

$$B_{M\mathrm{FSK}}=f_M-f_1+2f_s$$

• 解调：非相干包络检波（$M$ 个带通滤波器+包络检波+抽样比较判决）。
• 缺点：占用频带宽，频带利用率低；优点：抗干扰能力强，适合衰落信道。

7.4.3 MPSK（多进制相移键控）

$$s_{M\mathrm{PSK}}(t)=A\cos\left(\omega_ct+\theta_k\right),\qquad k=1,2,\dots,M$$

$$\theta_k=\frac{2\pi}{M}(k-1)$$

可分解为两路 MASK 之和：

$$s_{M\mathrm{PSK}}(t)=a_k\cos\omega_ct-b_k\sin\omega_ct,\qquad a_k=\cos\theta_k,\quad b_k=\sin\theta_k$$

故带宽与 MASK 相同。

QPSK（4PSK）：每码元 2 比特，4 种相位。两种相位编排：

• A 方式：$00\to0^\circ$、$01\to90^\circ$、$11\to180^\circ$、$10\to270^\circ$；
• B 方式：$00\to45^\circ$、$01\to135^\circ$、$11\to225^\circ$、$10\to315^\circ$。

采用格雷码（相邻相位只差 1 位），错判到相邻相位时只错 1 比特，降低总误比特率。

QPSK 产生：①相乘电路法（串/并变换 → 双极性码 → 两路相乘 → 相加）；②选择法（串/并变换 → 相位选择 → 带通滤波）。

QPSK 解调：相干解调（载波提取、两路相乘、低通、抽样判决、并/串变换）。

7.4.4 MDPSK（多进制差分相移键控）

$$s_{M\mathrm{DPSK}}(t)=A\cos\left(\omega_ct+\theta_k\right),\qquad \Delta\theta_k=\theta_k-\theta_{k-1}$$

• 用相对相位差 $\Delta\theta_k$ 表示信息；QDPSK 的 A 方式 $\Delta\theta_k$ 取 $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$，B 方式取 $45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ$。
• $\pi/4$ QDPSK：相邻码元相位差为 $\pm45^\circ$、$\pm135^\circ$。
• 产生：串/并变换 → 码变换（绝对码→相对码）→ 相乘/选择法。
• 解调：①极性比较法（QPSK 相干解调 + 逆码变换）；②相位比较法（延时 $T_s$ 差分相干，两个支路）。

7.5 多进制数字调制系统的抗噪声性能

MASK（相干解调）

$$P_e=\left(1-\frac{1}{M}\right)\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{3}{M^2-1}r}\right)$$

MFSK

包络检波：

$$P_e\le\frac{M-1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}$$

相干解调：

$$P_e\le(M-1)\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\right)$$

• 课件注明：$k>7$ 时两者区别可忽略，误码率上界均可近似用 $\dfrac{M-1}{2}\mathrm{e}^{-r/2}$ 表示（$k$ 的确切含义课件未写明，待核对）。
• 比特信噪比：

$$r_b=\frac{r}{k}=\frac{r}{\log_2M}$$

MPSK（相干解调）

$$P_e\approx\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\sin\frac{\pi}{M}\right)$$

MDPSK（相干解调）

$$P_e\approx\operatorname{erfc}\left(\sqrt{2r}\sin\frac{\pi}{2M}\right)$$

• $r$：符号信噪比；$r_b$：比特信噪比；$M$：进制数；$k=\log_2M$：每码元比特数。
• 规律：$M$ 增大时频带利用率提高，但相同 $r$ 下误码率增大（抗噪性能下降）。

7.6 易错点与常考题型

易错点

1. 2FSK 的带宽是 $\left|f_2-f_1\right|+2f_s$，不是 $2f_s$；2ASK/2PSK/2DPSK 才是 $2f_s$。
2. 2PSK 的"0"对应相位 0、"1"对应 $\pi$（课件约定）；2DPSK 的 $1$ 对应相位差 $\pi$。
3. 差分编码是"遇 1 跳变、遇 0 不变"，即 $b_n=a_n\oplus b_{n-1}$；差分译码 $a_n=b_n\oplus b_{n-1}$，不要与编码混淆。
4. 2PSK 相干解调存在相位模糊（反码现象），2DPSK 差分相干可避免。
5. 2DPSK 相干+差分译码的误码率 $P_e'=2(1-P_e)P_e$，比 2PSK 差（约 2 倍），但工程上仍常用。
6. 各误码率公式中的 $r$ 均为解调器输入端信噪比 $a^2/(2\sigma_n^2)$，不是输出信噪比，也不是 $E_b/N_0$。
7. 2ASK 包络检波最佳门限随 $r$ 变化（大信噪比 $b^*=a/2$），2FSK 用比较判决无需门限。
8. QPSK 的 A 方式以 $0^\circ$ 为参考、B 方式以 $45^\circ$ 为参考；格雷码排列顺序别混。
9. MPSK/MDPSK 误码率中 $\sin(\pi/M)$ 与 $\sin(\pi/2M)$ 的区别；MDPSK 根号内多因子 $2$。

常考题型

• 画 2ASK/2FSK/2PSK/2DPSK 波形与调制/解调方框图、写表达式、求带宽。
• 2DPSK 差分编码/译码（给绝对码写相对码，或反之）。
• 比较各二进制系统误码率（谁最好、差几 $\mathrm{dB}$）。
• 给 $r$ 求 $P_e$，或给 $P_e$ 反求 $r$。
• 多进制：求 $R_b$、$B$、频带利用率、误码率。
• QPSK/QDPSK 相位表与格雷码编码。
• 推导类：2ASK 最佳门限、2FSK 比较判决时 $z=x_1-x_2$ 的分布、2DPSK 差分相干 $P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r}$。

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附录 物理量与公式大总结

表中 $f_m$ 为基带最高频率，$f_s=1/T_s$ 为码元速率，$B$ 为传输带宽，$r$ 为解调器输入端信噪比，$M$ 为进制数。表中竖线用 $\vert$ 表示绝对值。

物理量名称	符号	单位	对应公式	适用条件	所在章节
波长	$\lambda$	$\mathrm{m}$	$\lambda=c/f$	自由空间传播	1.1
信息量	$I(x)$	$\mathrm{bit}$	$I=-\log_2P(x)$	离散信源、符号独立	1.4
信源熵	$H(x)$	$\mathrm{bit/符号}$	$H=-\sum_iP(x_i)\log_2P(x_i)$	离散无记忆信源	1.4
最大熵	$H_{\max}$	$\mathrm{bit/符号}$	$H_{\max}=\log_2M$	各符号等概	1.4
码元速率	$R_B$	$\mathrm{Baud}$	$R_B=1/T_s$	任意数字系统	1.5
信息速率	$R_b$	$\mathrm{b/s}$	$R_b=R_B\log_2M$	$M$ 进制等概	1.5
频带利用率	$\eta$	$\mathrm{Baud/Hz}$	$\eta=R_B/B$	任意数字系统	1.5
比特频带利用率	$\eta_b$	$\mathrm{b/(s\cdot Hz)}$	$\eta_b=R_b/B$	任意数字系统	1.5
误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\text{错码元数}/\text{总码元数}$	统计意义	1.5
信噪比	$S/N$	无量纲	$S/N=\overline{s^2}/\overline{n^2}$	模拟系统可靠性	1.5
均值	$a(t)$	同 $\xi$	$a(t)=\int xf_1(x,t)\mathrm{d}x$	一维分布存在	3.1
方差	$\sigma^2(t)$	同 $\xi^2$	$\sigma^2=E[\xi^2]-a^2$	一维分布存在	3.1
自相关函数	$R(\tau)$	同 $\xi^2$	$R(\tau)=E[\xi(t)\xi(t+\tau)]$	广义平稳	3.2
协方差函数	$B(t_1,t_2)$	同 $\xi^2$	$B=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2)$	任意随机过程	3.1
功率谱密度	$P_\xi(f)$	$\mathrm{W/Hz}$	$P_\xi=\lim E\vert F_T(f)\vert^2/T$	平稳过程	3.2
平均功率	$P$	$\mathrm{W}$	$P=R(0)=\int P_\xi(f)\mathrm{d}f$	平稳过程	3.2
维纳—辛钦关系	—	—	$P_\xi(f)=\int R(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau$	平稳过程	3.2
高斯概率密度	$f(x)$	$1/\mathrm{V}$	$f=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-(x-a)^2/(2\sigma^2)}$	一维高斯	3.3
误差函数	$\operatorname{erf}(x)$	无量纲	$\operatorname{erf}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$	—	3.3
互补误差函数	$\operatorname{erfc}(x)$	无量纲	$\operatorname{erfc}=1-\operatorname{erf}$	—	3.3
白噪声功率谱	$n_0/2$	$\mathrm{W/Hz}$	$P_n(f)=n_0/2$	全频段恒定	3.6
白噪声自相关	$R(\tau)$	$\mathrm{W}$	$R(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(\tau)$	白噪声	3.6
线性系统输出功率谱	$P_o(f)$	$\mathrm{W/Hz}$	$P_o=\vert H(f)\vert^2P_i$	平稳过程	3.4
低通白噪声自相关	$R(\tau)$	$\mathrm{W}$	$R=n_0f_H\operatorname{Sa}(2\pi f_H\tau)$	理想低通 $f_H$	3.6
带通白噪声功率	$N$	$\mathrm{W}$	$N=n_0B$	理想带通	3.6
窄带包络分布	$f(a_\xi)$	$1/\mathrm{V}$	$f=\frac{a}{\sigma^2}\mathrm{e}^{-a^2/(2\sigma^2)}$	零均值平稳高斯窄带	3.5
窄带相位分布	$f(\varphi_\xi)$	$1/\mathrm{rad}$	$f=1/(2\pi)$	同上	3.5
载波	$c(t)$	$\mathrm{V}$	$c=A\cos(\omega_ct+\varphi_0)$	正弦载波	5.0
DSB 信号	$s_{\mathrm{DSB}}(t)$	$\mathrm{V}$	$s=m(t)\cos\omega_ct$	线性调制	5.1
DSB 带宽	$B_{\mathrm{DSB}}$	$\mathrm{Hz}$	$B=2f_m$	$m(t)$ 带宽 $f_m$	5.1
AM 信号	$s_{\mathrm{AM}}(t)$	$\mathrm{V}$	$s=[m(t)+A_0]\cos\omega_ct$	$A_0\ge\vert m\vert_{\max}$	5.1
AM 功率	$P_{\mathrm{AM}}$	$\mathrm{W}$	$P=A_0^2/2+\overline{m^2}/2$	AM	5.1
AM 调制效率	$\eta_{\mathrm{AM}}$	无量纲	$\eta=\overline{m^2}/(A_0^2+\overline{m^2})$	AM	5.1
SSB 信号	$s_{\mathrm{SSB}}(t)$	$\mathrm{V}$	$s=\frac{1}{2}m\cos\omega_ct\pm\frac{1}{2}\hat{m}\sin\omega_ct$	相移法	5.1
SSB 带宽	$B_{\mathrm{SSB}}$	$\mathrm{Hz}$	$B=f_m$	SSB	5.1
VSB 无失真条件	—	—	$H(\omega-\omega_c)+H(\omega+\omega_c)=C$	$\vert\omega\vert\le\omega_H$	5.1
制度增益	$G$	无量纲	$G=(S_o/N_o)/(S_i/N_i)$	解调器	5.2
DSB 输出信噪比	$S_o/N_o$	无量纲	$S_o/N_o=\overline{m^2}/(2n_0f_m)$	相干解调	5.2
SSB 输出信噪比	$S_o/N_o$	无量纲	$S_o/N_o=\overline{m^2}/(4n_0f_m)$	相干解调	5.2
瞬时角频率	$\omega(t)$	$\mathrm{rad/s}$	$\omega=\omega_c+\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}t$	角度调制	5.3
FM 信号	$s_{\mathrm{FM}}(t)$	$\mathrm{V}$	$s=A\cos[\omega_ct+K_f\int m\mathrm{d}\tau]$	FM	5.3
最大频偏	$\Delta f$	$\mathrm{Hz}$	$\Delta f=\frac{1}{2\pi}\max\vert K_fm(t)\vert$	FM	5.3
调频指数	$m_f$	无量纲	$m_f=\Delta f/f_m$	FM	5.3
卡森带宽	$B_{\mathrm{FM}}$	$\mathrm{Hz}$	$B=2(m_f+1)f_m$	单频调制	5.3
FM 输出信噪比	$S_o/N_o$	无量纲	$\frac{3}{2}m_f^2\frac{S_i}{n_0f_m}$	大信噪比、单频	5.4
FM 制度增益	$G_{\mathrm{FM}}$	无量纲	$G=3(m_f+1)m_f^2$	大信噪比	5.4
FM 信号功率	$P_{\mathrm{FM}}$	$\mathrm{W}$	$P=A^2/2$	任意 $m_f$	5.3
FM/AM 信噪比	—	无量纲	$(S_o/N_o)_{\mathrm{FM}}/(S_o/N_o)_{\mathrm{AM}}=4.5m_f^2$	大信噪比、AM 100%	5.4
基带信号功率谱	$P_s(f)$	$\mathrm{W/Hz}$	$P_s=f_sP(1-P)\vert G_1-G_2\vert^2+\sum_mf_s^2\vert PG_1+(1-P)G_2\vert^2\delta(f-mf_s)$	二进制随机序列	6.2
无码间串扰时域条件	—	—	$h(kT_s)=C\ (k=0)$；$0\ (k\ne0)$	基带系统	6.5
奈奎斯特第一准则	—	—	$\sum_iH(\omega+2\pi i/T_s)=C$，$\vert\omega\vert\le\pi/T_s$	无码间串扰	6.5
奈奎斯特带宽	$f_N$	$\mathrm{Hz}$	$f_N=1/(2T_s)$	理想低通	6.5
最高码元速率	$R_B$	$\mathrm{Baud}$	$R_B=1/T_s=2f_N$	理想低通	6.5
滚降带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	$B=(1+\alpha)f_N$	余弦滚降	6.5
滚降频带利用率	$\eta$	$\mathrm{Baud/Hz}$	$\eta=2/(1+\alpha)$	余弦滚降	6.5
最高频带利用率	$\eta_{\max}$	$\mathrm{Baud/Hz}$	$\eta_{\max}=2$	理想低通、无 ISI	6.5
基带第一零点带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	NRZ $B\approx f_s$；RZ $B\approx2f_s$	矩形脉冲	6.2
最佳判决门限	$V_d^*$	$\mathrm{V}$	$V_d^*=\frac{A+B}{2}+\frac{\sigma_n^2}{A-B}\ln\frac{P(0)}{P(1)}$	高斯噪声	6.6
双极性误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n}\right)$	等概、门限 0	6.6
单极性误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n}\right)$	等概、门限 $A/2$	6.6
输入信噪比	$r$	无量纲	$r=a^2/(2\sigma_n^2)$	二进制数字调制	7.2
2ASK 相干误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\sqrt{r/4}$	相干解调	7.2
2ASK 包络误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r/4}$	大信噪比	7.2
2FSK 相干误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\sqrt{r/2}$	相干解调	7.2
2FSK 包络误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r/2}$	包络检波	7.2
2PSK 误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\sqrt{r}$	相干解调	7.2
2DPSK 误码率（相干）	$P_e'$	无量纲	$P_e'\approx\operatorname{erfc}\sqrt{r}$	相干+差分译码	7.2
2DPSK 误码率（差分相干）	$P_e$	无量纲	$P_e=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-r}$	差分相干	7.2
MASK 误码率	$P_e$	无量纲	$P_e=\left(1-\frac{1}{M}\right)\operatorname{erfc}\sqrt{\frac{3r}{M^2-1}}$	相干解调	7.5
MFSK 误码率	$P_e$	无量纲	$P_e\le\frac{M-1}{2}\mathrm{e}^{-r/2}$	包络检波	7.5
MPSK 误码率	$P_e$	无量纲	$P_e\approx\operatorname{erfc}\left(\sqrt{r}\sin\frac{\pi}{M}\right)$	相干解调	7.5
MDPSK 误码率	$P_e$	无量纲	$P_e\approx\operatorname{erfc}\left(\sqrt{2r}\sin\frac{\pi}{2M}\right)$	相干解调	7.5
2ASK/2PSK/2DPSK 带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	$B=2f_s$	二进制	7.1
2FSK 带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	$B=\vert f_2-f_1\vert+2f_s$	二进制	7.1
MASK 带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	$B=2f_s$	$M$ 进制	7.4
MFSK 带宽	$B$	$\mathrm{Hz}$	$B=f_M-f_1+2f_s$	$M$ 进制	7.4
比特信噪比	$r_b$	无量纲	$r_b=r/\log_2M$	$M$ 进制	7.5