二阶电路响应

所有响应的暂态分量（自由分量）形式都由特征根决定。

阻尼状态	条件	零输入响应公式 $y_{zi}(t)$
过阻尼	$\alpha > \omega_0$	$A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$
临界阻尼	$\alpha = \omega_0$	$(A_1 + A_2 t) e^{-\alpha t}$
欠阻尼	$\alpha < \omega_0$	$e^{-\alpha t} [B_1 \cos(\omega_d t) + B_2 \sin(\omega_d t)]$

注：系数 $A_1, A_2$ 或 $B_1, B_2$ 需代入 $t=0$ 时的 $y(0_+)$ 和 $y'(0_+)$ 求解。

y_{zs}(t) = y(\infty) + \text{暂态分量}

阻尼状态	条件	零状态响应公式 $y_{zs}(t)$
过阻尼	$\alpha > \omega_0$	$y(\infty) + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$
临界阻尼	$\alpha = \omega_0$	$y(\infty) + (A_1 + A_2 t) e^{-\alpha t}$
欠阻尼	$\alpha < \omega_0$	$y(\infty) + e^{-\alpha t} [B_1 \cos(\omega_d t) + B_2 \sin(\omega_d t)]$

特别注意：虽然公式结构和全响应一样，但在计算系数时，必须使用零状态条件：
$y(0_+) = 0$
$y'(0_+) = 0$ (对于电容电压 $u_C$ 和电感电流 $i_L$ )

通用公式结构：

y(t) = y(\infty) + y_h(t)

其中 $y(\infty)$ 是稳态值（直流激励下为常数）， $y_h(t)$ 是齐次解（暂态项）。

阻尼状态	特征根情况	全响应公式 $y(t)$
过阻尼	两个不等实根 $s_1, s_2$	$y(\infty) + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$
临界阻尼	两个相等实根 $-\alpha$	$y(\infty) + (A_1 + A_2 t) e^{-\alpha t}$
欠阻尼	共轭复根 $-\alpha \pm j\omega_d$	$y(\infty) + e^{-\alpha t} [B_1 \cos(\omega_d t) + B_2 \sin(\omega_d t)]$
无阻尼	纯虚根 $\pm j\omega_0$	$y(\infty) + B_1 \cos(\omega_0 t) + B_2 \sin(\omega_0 t)$

无论求哪种响应，核心都在于求出待定系数 ( $A_1, A_2$ 等)。 统一解题步骤（三步走）：

确定初值：
- 求 $y(0_+)$ ：由换路定则得。
- 求 $y'(0_+)$ $y^{'} (0_{+})$ ：
  - 若求 $u_C$ ，则 $u_C'(0_+) = i_C(0_+) / C$ 。
  - 若求 $i_L$ ，则 $i_L'(0_+) = u_L(0_+) / L$ 。
确定稳态值：
- 求 $y(\infty)$ ：电容开路、电感短路求直流分量。
列二元一次方程组：将 $t=0$ 代入通解公式及其导数公式。

假设通解为 $y(t) = y(\infty) + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$

方程 1 (代入 $t=0$ )：
$y(0_+) = y(\infty) + A_1 + A_2$
方程 2 (求导后代入 $t=0$ )：
$y'(t) = s_1 A_1 e^{s_1 t} + s_2 A_2 e^{s_2 t}$ $\Rightarrow y'(0_+) = s_1 A_1 + s_2 A_2$

联立解出 $A_1, A_2$ 即可。 对于零输入响应，只需令 $y(\infty)=0$ 。对于零状态响应，只需令 $y(0_+)=0, y'(0_+)=0$ 。

二阶电路响应 ​