复变公式

一、 复数与几何基础

3. 欧拉公式 (Euler's Formula)

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

4. 乘除与幂根 (棣莫弗公式) 若 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$：

• 乘法：$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
• 除法：$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$
• 乘方：$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$
• 开方 (n个根)：

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k=0, 1, \dots, n-1$$

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二、 解析函数与柯西-黎曼方程

1. 导数定义

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

2. 柯西-黎曼方程 (C-R 条件) 设 $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$，函数可导的充要条件：

• 直角坐标形式：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

• 极坐标形式：

$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

3. 解析函数导数公式

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$$

4. 调和函数 若 $f(z)$ 解析，则 $u, v$ 均为调和函数（满足拉普拉斯方程）：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

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三、 基本初等函数

1. 指数函数

$$e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$$

• 周期性：$T = 2\pi i$

2. 对数函数

• 定义：$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i (\arg z + 2k\pi)$
• 主值：$\ln z = \ln |z| + i \arg z$

3. 幂函数

$$z^a = e^{a \operatorname{Ln} z}$$

4. 三角函数

$$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

$$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$$

• 关系：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$

5. 双曲函数

$$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$$

• 与三角函数关系：$\sin(iz) = i \sinh z, \quad \cos(iz) = \cosh z$

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四、 复积分理论

1. 柯西-古萨定理 (Cauchy-Goursat) 若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，且 $C$ 为 $D$ 内闭曲线：

$$\oint_C f(z) dz = 0$$

2. 复合闭路定理

$$\oint_{C} f(z) dz = \sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f(z) dz$$

(其中 $C$ 包含所有 $C_k$，方向均为逆时针)

3. 柯西积分公式

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$$

4. 高阶导数公式

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$$

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五、 级数展开

1. 泰勒级数 (Taylor Series) 在 $z_0$ 的解析邻域内：

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

其中系数：$c_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

2. 洛朗级数 (Laurent Series) 在圆环域 $R_1 < |z - z_0| < R_2$ 内：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

其中系数：$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

3. 常见展开式 ($z_0=0$)

• $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n, \quad (|z|<1)$
• $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \quad (|z|<\infty)$
• $\sin z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

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六、 留数理论

1. 留数定义

$$\operatorname{Res}[f(z), z_0] = c_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz$$

2. 留数计算公式

• 可去奇点：$\operatorname{Res} = 0$
• 一级极点 (Simple Pole)：

$$\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$$

若 $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$，且 $P(z_0)\neq 0, Q(z_0)=0, Q'(z_0)\neq 0$：

$$\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$

• m 级极点 (Order m Pole)：

$$\operatorname{Res}[f(z), z_0] = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]$$

• 本性奇点： 直接展开成洛朗级数，取 $c_{-1}$ 项系数。
• 无穷远点留数：

$$\operatorname{Res}[f(z), \infty] = -c_{-1} \quad \text{(指 } z^{-1} \text{ 在 } |z|>R \text{ 展开式的系数负值)}$$

$$\operatorname{Res}[f(z), \infty] = -\operatorname{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \cdot \frac{1}{t^2}, 0 \right]$$

3. 留数定理

$$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}[f(z), z_k]$$