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双缝干涉计算题 ​

11-11 题 (双缝干涉) ​

已知：

  • 波长 λ=546.1 nm=5.461×10−7 m\lambda = 546.1 \text{ nm} = 5.461 \times 10^{-7} \text{ m}
  • 双缝屏距 D=d′=300 mm=0.3 mD = d' = 300 \text{ mm} = 0.3 \text{ m}
  • 两侧第五级明纹间距 Δx5=12.2 mm⇒\Delta x_{5} = 12.2 \text{ mm} \Rightarrow 中央到第五级明纹距离 x5=6.1 mm=6.1×10−3 mx_5 = 6.1 \text{ mm} = 6.1 \times 10^{-3} \text{ m}
  • 级数 k=5k=5

求： 双缝间距 dd

解： 根据双缝干涉明纹公式：

xk=kDλdx_k = k \frac{D\lambda}{d}

则双缝间距为：

d=kDλxkd = \frac{k D \lambda}{x_k}

代入数据：

d=5×0.3×5.461×10−76.1×10−3d = \frac{5 \times 0.3 \times 5.461 \times 10^{-7}}{6.1 \times 10^{-3}}

d≈1.34×10−4 m(或 0.134 mm)d \approx 1.34 \times 10^{-4} \text{ m} \quad (\text{或 } 0.134 \text{ mm})

答： 双缝间的距离为 1.34×10−4 m1.34 \times 10^{-4} \text{ m}。

11-18 题 (空气劈尖) ​

已知：

  • 劈尖长度 L=2.888×10−2 mL = 2.888 \times 10^{-2} \text{ m}
  • 波长 λ=589.3 nm=5.893×10−7 m\lambda = 589.3 \text{ nm} = 5.893 \times 10^{-7} \text{ m}
  • 30条条纹总宽 W=4.295×10−3 mW = 4.295 \times 10^{-3} \text{ m}
  • 条纹间距 Δx=W30\Delta x = \frac{W}{30}

求： 细丝直径 dd

解： 劈尖干涉条纹间距公式为：

Δx=λ2sin⁡θ≈λ2(d/L)=Lλ2d\Delta x = \frac{\lambda}{2\sin\theta} \approx \frac{\lambda}{2(d/L)} = \frac{L\lambda}{2d}

整理得细丝直径公式：

d=Lλ2Δx=Lλ⋅N2Wd = \frac{L\lambda}{2\Delta x} = \frac{L\lambda \cdot N}{2W}

代入数据：

d=2.888×10−2×5.893×10−7×302×4.295×10−3d = \frac{2.888 \times 10^{-2} \times 5.893 \times 10^{-7} \times 30}{2 \times 4.295 \times 10^{-3}}

d≈5.94×10−5 m(或 0.0594 mm)d \approx 5.94 \times 10^{-5} \text{ m} \quad (\text{或 } 0.0594 \text{ mm})

答： 细丝直径为 5.94×10−5 m5.94 \times 10^{-5} \text{ m}。

9-28 题 (简谐振动) ​

已知：

  • 质量 m=0.10 kgm = 0.10 \text{ kg}
  • 振幅 A=1.0×10−2 mA = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}
  • 最大加速度 amax⁡=4.0 m/s2a_{\max} = 4.0 \text{ m/s}^2

解：

(1) 求周期 TT 由 amax⁡=ω2Aa_{\max} = \omega^2 A 得角频率：

ω=amax⁡A=4.00.01=20 rad/s\omega = \sqrt{\frac{a_{\max}}{A}} = \sqrt{\frac{4.0}{0.01}} = 20 \text{ rad/s}

T=2πω=2π20≈0.314 sT = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314 \text{ s}

(2) 求平衡位置时的总能量与动能 总能量 E=12mω2A2E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2：

E=12×0.1×202×(10−2)2=2.0×10−3 JE = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20^2 \times (10^{-2})^2 = 2.0 \times 10^{-3} \text{ J}

平衡位置势能为0，故动能 Ek=E=2.0×10−3 JE_k = E = 2.0 \times 10^{-3} \text{ J}。

(3) 动能和势能各占一半时的位置 令 Ep=12EE_p = \frac{1}{2}E，即 12kx2=12(12kA2)\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}kA^2)：

x2=A22⇒x=±22Ax^2 = \frac{A^2}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}A

x≈±0.707×10−2 mx \approx \pm 0.707 \times 10^{-2} \text{ m}

(4) 位移为振幅一半时的能量占比 当 x=A2x = \frac{A}{2} 时： 势能：Ep=12k(A2)2=14(12kA2)=14EE_p = \frac{1}{2}k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{1}{4}E (占25%) 动能：Ek=E−Ep=34EE_k = E - E_p = \frac{3}{4}E (占75%)

1. 氮气题 ​

  • 研究对象：氮气（N2N_2），属于双原子分子理想气体。
    • 自由度 i=5i = 5
  • 初始状态（状态1）：
    • P1=200 kPa=2×105 PaP_1 = 200 \text{ kPa} = 2 \times 10^5 \text{ Pa}
    • V1=0.005 m3V_1 = 0.005 \text{ m}^3
    • 在此状态下，P1V1=2×105×0.005=1000 JP_1 V_1 = 2 \times 10^5 \times 0.005 = 1000 \text{ J}

2. 过程分析与状态参数计算 ​

过程一：等温膨胀（TT 不变）

  • 条件：压强变为原来的一半。
  • 状态2 参数：
    • P2=12P1=100 kPa=1×105 PaP_2 = \frac{1}{2} P_1 = 100 \text{ kPa} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}
    • 根据玻意耳定律 P1V1=P2V2P_1 V_1 = P_2 V_2：

      V2=P1V1P2=10001×105=0.01 m3V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{1000}{1 \times 10^5} = 0.01 \text{ m}^3

    • 此时 P2V2=1000 JP_2 V_2 = 1000 \text{ J}

过程二：等压压缩（PP 不变）

  • 条件：压缩到原来的体积。
  • 状态3 参数：
    • P3=P2=1×105 PaP_3 = P_2 = 1 \times 10^5 \text{ Pa}
    • V3=V1=0.005 m3V_3 = V_1 = 0.005 \text{ m}^3
    • 此时 P3V3=1×105×0.005=500 JP_3 V_3 = 1 \times 10^5 \times 0.005 = 500 \text{ J}

3. 求解各物理量 ​

(1) 内能变化 (ΔU\Delta U) ​

内能是状态量，只与始末状态的温度（即 PVPV 值）有关。 对于双原子分子（i=5i=5）：

ΔU=i2Δ(PV)=52(P3V3−P1V1) \Delta U = \frac{i}{2} \Delta(PV) = \frac{5}{2} (P_3 V_3 - P_1 V_1)

代入数据：

ΔU=2.5×(500−1000)=2.5×(−500)=−1250 J \Delta U = 2.5 \times (500 - 1000) = 2.5 \times (-500) = -1250 \text{ J}

  • 结果：内能减少了 1250 J。

(2) 做的总功 (WW) ​

功是过程量，我们将两个过程的功分开计算（这里计算气体对外做的功）：

  • 第一步（等温膨胀）：

    W1=∫PdV=P1V1ln⁡(V2V1) W_1 = \int P dV = P_1 V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

    W1=1000×ln⁡(0.010.005)=1000×ln⁡2≈1000×0.693=693 J W_1 = 1000 \times \ln\left(\frac{0.01}{0.005}\right) = 1000 \times \ln 2 \approx 1000 \times 0.693 = 693 \text{ J}

    (气体对外做正功)

  • 第二步（等压压缩）：

    W2=P2(V3−V2) W_2 = P_2 (V_3 - V_2)

    W2=1×105×(0.005−0.01)=105×(−0.005)=−500 J W_2 = 1 \times 10^5 \times (0.005 - 0.01) = 10^5 \times (-0.005) = -500 \text{ J}

    (外界对气体做功，即气体对外做负功)

  • 总功 (W总W_{总})：

    W总=W1+W2=693−500=193 J W_{总} = W_1 + W_2 = 693 - 500 = 193 \text{ J}

    • 结果：气体对外做的总功为 193 J。

(3) 热量变化 (QQ) ​

根据热力学第一定律：Q=ΔU+W对外Q = \Delta U + W_{对外}

Q=−1250 J+193 J=−1057 JQ = -1250 \text{ J} + 193 \text{ J} = -1057 \text{ J}

  • 结果：QQ 为负值，表示气体放出热量 1057 J。

【最终答案总结】 ​

  1. 气体的热量变化：放热 1057 J。
  2. 做的总功：气体对外做功 193 J。
  3. 内能变化：内能减少 1250 J。