振动合成公式推导

这也是大学物理中关于振动合成的经典推导。通常有两种方法：三角函数解析法（代数推导）和旋转矢量法（几何推导）。

为了让你清楚“为什么合成后还是简谐运动”以及“ $A$ 和 $\phi$ 是怎么来的”，这里详细展示三角函数解析法的推导过程，结论与你的笔记完全一致。

设质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，其方程分别为：

x_1 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1)

x_2 = A_2 \cos(\omega t + \phi_2)

合位移 $x$ 为两个分位移之和：

x = x_1 + x_2 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega t + \phi_2)

利用余弦展开公式 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ ，将上式展开：

x_1 = A_1 (\cos\omega t \cos\phi_1 - \sin\omega t \sin\phi_1)

x_2 = A_2 (\cos\omega t \cos\phi_2 - \sin\omega t \sin\phi_2)

代入 $x = x_1 + x_2$ 并合并同类项（将含有 $\cos\omega t$ 和 $\sin\omega t$ 的项分别合并）：

x = (A_1 \cos\phi_1 + A_2 \cos\phi_2) \cos\omega t - (A_1 \sin\phi_1 + A_2 \sin\phi_2) \sin\omega t

为了将上式还原为 $A \cos(\omega t + \phi)$ 的形式，我们观察括号内的部分在给定 $A_1, A_2, \phi_1, \phi_2$ 时都是常数。我们可以令合振幅 $A$ 和合初相 $\phi$ 满足以下关系：

将 ① 和 ② 代入步骤 3 的式子中：

x = (A \cos\phi) \cos\omega t - (A \sin\phi) \sin\omega t

根据逆向的三角公式 $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha+\beta)$ ，可得：

x = A \cos(\omega t + \phi)

结论： 这证明了合振动仍然是频率为 $\omega$ 的简谐振动。

将 ① 式和 ② 式分别平方并相加：

(A \cos\phi)^2 + (A \sin\phi)^2 = (A_1 \cos\phi_1 + A_2 \cos\phi_2)^2 + (A_1 \sin\phi_1 + A_2 \sin\phi_2)^2

左边提取 $A^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = A^2$ 。右边展开：

= A_1^2 \cos^2\phi_1 + A_2^2 \cos^2\phi_2 + 2A_1 A_2 \cos\phi_1 \cos\phi_2 + A_1^2 \sin^2\phi_1 + A_2^2 \sin^2\phi_2 + 2A_1 A_2 \sin\phi_1 \sin\phi_2

合并 $(A_1^2 \cos^2 + A_1^2 \sin^2)$ 等项，并利用 $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)$ ：

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_2 - \phi_1)

最终得到振幅公式：

A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_2 - \phi_1)}

将 ② 式除以 ① 式：

\frac{A \sin\phi}{A \cos\phi} = \frac{A_1 \sin\phi_1 + A_2 \sin\phi_2}{A_1 \cos\phi_1 + A_2 \cos\phi_2}

最终得到相位公式：

\tan\phi = \frac{A_1 \sin\phi_1 + A_2 \sin\phi_2}{A_1 \cos\phi_1 + A_2 \cos\phi_2}

(注：计算 $\phi$ 时需根据分子分母的正负号确定象限)

振动合成公式推导 ​