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阶跃响应 ​

这是关于一阶电路阶跃响应 (Step Response) 的专项整理。

阶跃响应属于零状态响应的一种特例。 定义：电路无初始储能（uC(0−)=0u_C(0_-)=0 或 iL(0−)=0i_L(0_-)=0），仅在 t=0t=0 时接入一个恒定的直流激励（如接入电源 USU_S 或 ISI_S）。

在数学上，激励源通常表示为 u(t)=US⋅ε(t)u(t) = U_S \cdot \varepsilon(t)。

1. 核心通用公式 ​

对于一阶电路，阶跃响应主要表现为指数增长或指数衰减。

若求状态变量（uCu_C 或 iLi_L），其波形是“爬升”的：

f(t)=稳态值×(1−e−tτ)f(t) = \text{稳态值} \times (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

若求非状态变量（如电容电路中的电流 iCi_C 或电阻电压 uRu_R），其波形是“跳变后衰减”的：

f(t)=初始最大值×e−tτf(t) = \text{初始最大值} \times e^{-\frac{t}{\tau}}

2. RC 电路的阶跃响应 ​

场景：电阻 RR 与电容 CC 串联，接入电压源 USU_S。 时间常数：τ=RC\tau = RC

A. 电容电压 uC(t)u_C(t) —— 充电过程 ​

电容两端电压不能突变，从 0 开始慢慢上升，最终达到电源电压。

  • 公式：

    uC(t)=US(1−e−tτ)u_C(t) = U_S (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

  • 特征：t=0t=0 时为 0，t→∞t \to \infty 时为 USU_S。

B. 电路电流 i(t)i(t) —— 跳变与衰减 ​

电容在 t=0+t=0_+ 瞬间相当于短路（电压为0），电流瞬间达到最大，随充电过程逐渐减小至 0。

  • 公式：

    i(t)=USRe−tτi(t) = \frac{U_S}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}

  • 特征：t=0t=0 时跳变到 US/RU_S/R，t→∞t \to \infty 时为 0（电容相当于开路）。

C. 电阻电压 uR(t)u_R(t) ​

  • 公式：uR(t)=i(t)R=USe−tτu_R(t) = i(t)R = U_S e^{-\frac{t}{\tau}}
  • 波形：同电流波形，瞬间跳变，然后衰减。

3. RL 电路的阶跃响应 ​

场景：电阻 RR 与电感 LL 串联，接入电压源 USU_S。 时间常数：τ=LR\tau = \frac{L}{R}

A. 电感电流 iL(t)i_L(t) —— 磁能建立过程 ​

电感电流不能突变，从 0 开始慢慢上升，最终被电阻限流。

  • 公式：

    iL(t)=USR(1−e−tτ)i_L(t) = \frac{U_S}{R} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

  • 特征：t=0t=0 时为 0，t→∞t \to \infty 时为 US/RU_S/R（电感相当于短路）。

B. 电感电压 uL(t)u_L(t) —— 跳变与衰减 ​

t=0+t=0_+ 瞬间电感相当于开路（阻碍电流变化），感应电动势最大（等于电源电压），随后减小。

  • 公式：

    uL(t)=USe−tτu_L(t) = U_S e^{-\frac{t}{\tau}}

  • 特征：t=0t=0 时跳变到 USU_S，t→∞t \to \infty 时为 0。

4. 重点应用：微分与积分电路 ​

一阶电路的阶跃响应波形取决于输出取在哪个元件上。

  1. 积分电路 (Integrator)：
    • 输出取在电容 CC 两端 (uout=uCu_{out} = u_C)。
    • 条件：τ≫\tau \gg 脉冲宽度。
    • 阶跃响应表现为：电压缓慢线性上升（近似积分）。
  2. 微分电路 (Differentiator)：
    • 输出取在电阻 RR 两端 (uout=uRu_{out} = u_R)。
    • 条件：τ≪\tau \ll 脉冲宽度。
    • 阶跃响应表现为：瞬间尖峰，随即快速衰减归零（提取了阶跃信号的“跳变沿”）。

5. 单位阶跃响应 s(t)s(t) 与 冲激响应 h(t)h(t) 的关系 ​

在信号与系统中，如果激励是单位阶跃函数 ε(t)\varepsilon(t)（即 US=1VU_S = 1\text{V}），此时的零状态响应称为单位阶跃响应，记为 s(t)s(t)。

它与单位冲激响应 h(t)h(t) 存在微积分关系：

  1. 积分关系：

    s(t)=∫−∞th(λ)dλs(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda

    (阶跃响应是冲激响应的积分)

  2. 微分关系：

    h(t)=ds(t)dth(t) = \frac{d s(t)}{dt}

    (冲激响应是阶跃响应的导数)

举例验证： RC电路中，s(t)=uC(t)=1−e−t/τs(t) = u_C(t) = 1 - e^{-t/\tau}。 对其求导： h(t)=ddt(1−e−t/τ)=1τe−t/τh(t) = \frac{d}{dt}(1 - e^{-t/\tau}) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau} 这正是 RC 电路的冲激响应公式。

在电路分析和信号系统中，阶跃函数 (Step Function) 通常指的是单位阶跃函数 (Unit Step Function)。

以下是它的符号、数学定义以及在电路中的常见写法：

1. 常用符号 ​

根据教材体系不同，通常有两种写法：

  • ε(t)\varepsilon(t)：国内电路原理教材（如邱关源版）最常用。
  • u(t)u(t)：信号与系统、自动控制原理以及国外教材最常用（uu 代表 Unit）。
  • H(t)H(t)：物理学中偶尔使用（代表 Heaviside）。

2. 数学定义表达式 ​

它是一个分段函数，定义如下：

ε(t)={0,t<01,t>0 \varepsilon(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t > 0 \end{cases}

注意 t=0t=0 处的定义：

  • 在电路分析中，通常不需要关注 t=0t=0 这一点的精确数学值，而是关注 t=0−t=0_- (跳变前) 和 t=0+t=0_+ (跳变后) 的状态。
  • 在纯数学定义中，有时定义 ε(0)=0.5\varepsilon(0) = 0.5，但在工程上通常忽略此细节。

3. 常见的变形写法（很重要） ​

在实际电路题目中，阶跃函数常用来表示开关动作或电源接入：

(1) 幅度变化（非单位阶跃） ​

如果接入的是 10V10\text{V} 的直流电源，写作：

f(t)=10⋅ε(t) V f(t) = 10 \cdot \varepsilon(t) \text{ V}

  • 含义：t<0t<0 时电压为 0，t>0t>0 时电压恒为 10V。

(2) 时间延迟（平移） ​

如果开关在 t=t0t = t_0 时刻才闭合（而不是 t=0t=0），写作：

ε(t−t0)={0,t<t01,t>t0 \varepsilon(t - t_0) = \begin{cases} 0, & t < t_0 \\ 1, & t > t_0 \end{cases}

  • 记忆口诀：“左加右减”。(t−2)(t-2) 表示图像向右平移2秒，即在 t=2t=2 时跳变。

(3) 矩形脉冲（门函数） ​

利用两个阶跃函数相减，可以表示一个持续一段时间的脉冲电压：

f(t)=ε(t)−ε(t−T) f(t) = \varepsilon(t) - \varepsilon(t - T)

  • 含义：在 t=0t=0 时打开，在 t=Tt=T 时关闭。结果是一个宽度为 TT、高度为 1 的矩形波。

(4) 反向阶跃 (切断) ​

表示 t=0t=0 时刻电源断开（从有到无）：

f(t)=1−ε(t) f(t) = 1 - \varepsilon(t)

  • 含义：t<0t<0 时为 1，t>0t>0 时为 0。

4. 阶跃函数与其他函数的关系 ​

  • 与冲激函数 δ(t)\delta(t) 的关系： 阶跃函数的导数是冲激函数。

    dε(t)dt=δ(t) \frac{d\varepsilon(t)}{dt} = \delta(t)

  • 与斜坡函数 r(t)r(t) 的关系： 阶跃函数的积分是斜坡函数。

    ∫−∞tε(τ)dτ=t⋅ε(t) \int_{-\infty}^{t} \varepsilon(\tau) d\tau = t \cdot \varepsilon(t)