复变函数典型证明题整理

证明

$$\text{Res}[f(z), \infty] = -\text{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}, 0 \right]$$

证明过程

1. 无穷远点留数的定义

首先，回顾无穷远点留数的定义。对于扩充复平面上的函数 $f(z)$，其在 $z=\infty$ 处的留数定义为沿着围绕原点的顺时针（Clockwise）大圆 $C$（即 $|z|=R$，方向为负方向）的积分值除以 $2\pi i$。

$$\text{Res}[f(z), \infty] = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C^-} f(z) \, dz$$

注：之所以取顺时针方向，是因为在黎曼球面上，无穷远点的“邻域”是圆 $|z|=R$ 的外部。为了使积分路径包围该邻域且让区域位于路径左侧，必须顺时针绕行圆周。

2. 变量代换

为了将无穷远点的问题转化为我们熟悉的有限点（原点）问题，我们进行变量代换： 令 $z = \frac{1}{t}$。

由此可得微分关系：

$$dz = d\left(\frac{1}{t}\right) = -\frac{1}{t^2} \, dt$$

3. 积分路径与方向的变换

考虑 $z$ 平面上的积分路径 $C^-$：

• 区域：$z$ 沿着半径为 $R$ 的圆周运动，对应 $t$ 沿着半径为 $r = \frac{1}{R}$ 的圆周运动。
• 方向：当 $z$ 沿顺时针方向运动时（辐角 $\theta$ 减小），由于 $t = \frac{1}{z} = \frac{1}{R}e^{-i\theta}$，其辐角 $-\theta$ 是增加的。因此，$t$ 平面上的对应路径 $\gamma$ 是沿逆时针（Counter-clockwise, 正方向）运动的。

4. 代入积分计算

将 $z=1/t$ 和 $dz = -1/t^2 dt$ 代入留数定义的积分公式中：

$$\begin{aligned} \text{Res}[f(z), \infty] &= \frac{1}{2\pi i} \oint_{C^-} f(z) \, dz \\ &= \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma^+} f\left(\frac{1}{t}\right) \cdot \left( -\frac{1}{t^2} \right) \, dt \end{aligned}$$

其中 $\gamma^+$ 表示 $t$ 平面上绕原点的逆时针小圆。

将常数 $-1$ 提到积分号外：

$$\text{Res}[f(z), \infty] = - \left[ \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma^+} f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2} \, dt \right]$$

5. 识别 $t=0$ 处的留数

观察方括号内的积分：

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma^+} \left( f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2} \right) \, dt$$

根据有限点留数的定义（柯西留数定理），这正是函数 $g(t) = f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}$ 在 $t=0$ 处的留数。

即：

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma^+} f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2} \, dt = \text{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}, 0 \right]$$

6. 结论

将步骤 5 的结果代回步骤 4 的等式中，即得证：

$$\text{Res}[f(z), \infty] = -\text{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}, 0 \right]$$

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补充理解（通过洛朗级数验证）

设 $f(z)$ 在无穷远邻域内的洛朗展开为：

$$f(z) = \cdots + \frac{c_{-1}}{z} + c_0 + c_1 z + \cdots$$

根据定义，$\text{Res}[f(z), \infty] = -c_{-1}$（负号来自于积分方向相反）。

现在考察变换后的函数 $g(t) = f(1/t) \frac{1}{t^2}$：

$$f(1/t) = \cdots + c_{-1} t + c_0 + \frac{c_1}{t} + \cdots$$

同乘 $1/t^2$：

$$f(1/t)\frac{1}{t^2} = \cdots + \frac{c_{-1}}{t} + \frac{c_0}{t^2} + \frac{c_1}{t^3} + \cdots$$

在 $t=0$ 处的留数是 $1/t$ 项的系数。由上式可见，该系数正是 $c_{-1}$。 即：

$$\text{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}, 0 \right] = c_{-1}$$

对比两式：

$$\text{Res}[f(z), \infty] = -c_{-1} = -\text{Res}\left[ f\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^2}, 0 \right]$$

得证。