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二端网络等效参数计算（串联与并联） ​

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这是一道关于交流电路二端网络等效参数计算的题目。我们需要根据给定的电压和电流瞬时值表达式，计算出串联等效电路（右图）和并联等效电路（左图）中的元件参数。

1. 提取已知量并转换为相量形式 ​

已知电压和电流的瞬时值表达式为：

u(t)=22cos⁡(104t+30∘) Vu(t) = 2\sqrt{2} \cos(10^4t + 30^\circ) \, \text{V}

i(t)=1002cos⁡(104t+60∘) mA=0.12cos⁡(104t+60∘) Ai(t) = 100\sqrt{2} \cos(10^4t + 60^\circ) \, \text{mA} = 0.1\sqrt{2} \cos(10^4t + 60^\circ) \, \text{A}

角频率：ω=104 rad/s\omega = 10^4 \, \text{rad/s}

将电压和电流转换为有效值相量（也可以用最大值，结果一致，这里采用通用的有效值）：

  • 电压相量：U˙=2∠30∘ V\dot{U} = 2 \angle 30^\circ \, \text{V}
  • 电流相量：I˙=0.1∠60∘ A\dot{I} = 0.1 \angle 60^\circ \, \text{A}

2. 求解串联等效电路参数 (对应右图 R, C) ​

串联等效阻抗 ZZ 定义为电压相量与电流相量的比值：

Z=U˙I˙=2∠30∘0.1∠60∘=20∠(30∘−60∘)=20∠−30∘ ΩZ = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{2 \angle 30^\circ}{0.1 \angle 60^\circ} = 20 \angle (30^\circ - 60^\circ) = 20 \angle -30^\circ \, \Omega

将阻抗转换为代数形式（直角坐标形式）：

Z=20[cos⁡(−30∘)+jsin⁡(−30∘)]Z = 20 [\cos(-30^\circ) + j\sin(-30^\circ)]

Z=20(32−j12)Z = 20 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - j\frac{1}{2} \right)

Z=103−j10 Ω≈17.32−j10 ΩZ = 10\sqrt{3} - j10 \, \Omega \approx 17.32 - j10 \, \Omega

对于串联电路 Z=R+jXC=R+1jωC=R−j1ωCZ = R + jX_C = R + \frac{1}{j\omega C} = R - j\frac{1}{\omega C}，通过对比实部和虚部：

  1. 电阻 RR：

    R=Re[Z]=103≈17.32 ΩR = \text{Re}[Z] = 10\sqrt{3} \approx \mathbf{17.32 \, \Omega}

  2. 电容 CC： 虚部为容抗 XC=10 ΩX_C = 10 \, \Omega

    XC=1ωC  ⟹  C=1ωXCX_C = \frac{1}{\omega C} \implies C = \frac{1}{\omega X_C}

    代入数值：

    C=1104×10=10−5 F=10 μFC = \frac{1}{10^4 \times 10} = 10^{-5} \, \text{F} = \mathbf{10 \, \mu F}

3. 求解并联等效电路参数 (对应左图 R', C') ​

并联电路通常计算导纳 YY，它是阻抗的倒数：

Y=1Z=120∠−30∘=0.05∠30∘ SY = \frac{1}{Z} = \frac{1}{20 \angle -30^\circ} = 0.05 \angle 30^\circ \, \text{S}

将导纳转换为代数形式：

Y=0.05(cos⁡30∘+jsin⁡30∘)Y = 0.05 (\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)

Y=0.05(32+j12)Y = 0.05 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2} \right)

Y=0.0253+j0.025 S≈0.0433+j0.025 SY = 0.025\sqrt{3} + j0.025 \, \text{S} \approx 0.0433 + j0.025 \, \text{S}

对于并联电路 Y=G′+jBC=1R′+jωC′Y = G' + jB_C = \frac{1}{R'} + j\omega C'，通过对比实部和虚部：

  1. 电阻 R′R'： 实部为电导 G′=0.0253 SG' = 0.025\sqrt{3} \, \text{S}

    R′=1G′=10.0253=403≈23.09 ΩR' = \frac{1}{G'} = \frac{1}{0.025\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx \mathbf{23.09 \, \Omega}

  2. 电容 C′C'： 虚部为容纳 BC=0.025 SB_C = 0.025 \, \text{S}

    BC=ωC′  ⟹  C′=BCωB_C = \omega C' \implies C' = \frac{B_C}{\omega}

    代入数值：

    C′=0.025104=2.5×10−6 F=2.5 μFC' = \frac{0.025}{10^4} = 2.5 \times 10^{-6} \, \text{F} = \mathbf{2.5 \, \mu F}

结论 Summary ​

串联等效电路（右图）参数：

  • 电阻 R=17.32 ΩR = 17.32 \, \Omega (103 Ω10\sqrt{3} \, \Omega)
  • 电容 C=10 μFC = 10 \, \mu F

并联等效电路（左图）参数：

  • 电阻 R′=23.09 ΩR' = 23.09 \, \Omega (4033 Ω\frac{40\sqrt{3}}{3} \, \Omega)
  • 电容 C′=2.5 μFC' = 2.5 \, \mu F