Z=X+Y 概率密度推导（分布函数法）

这是一个经典的概率论推导问题。我们将通过分布函数法（即先求累积分布函数 $F_Z(z)$，再求导得到概率密度函数 $f_Z(z)$）来推导这一公式。

1. 设定与目标

已知二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)$。 令 $Z = X + Y$，我们需要求 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$。

2. 推导过程

第一步：求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$

根据定义，分布函数 $F_Z(z)$ 是随机变量 $Z$ 小于等于任意实数 $z$ 的概率：

$$F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X + Y \le z)$$

这等价于在 $xOy$ 平面上，对满足条件 $x + y \le z$ 的区域 $D_z$ 进行二重积分：

$$F_Z(z) = \iint_{D_z} f(x, y) \, dx \, dy$$

第二步：化二重积分为累次积分

区域 $D_z$ 由直线 $x + y = z$ 的左下方决定。为了计算这个积分，我们可以先固定 $x$，此时 $y$ 的变化范围是从 $-\infty$ 到 $z - x$。

于是积分可以写成：

$$F_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, dy \right] dx$$

第三步：对 $z$ 求导得到概率密度 $f_Z(z)$

概率密度函数是分布函数的导数：

$$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z)$$

将上面的积分表达式代入：

$$f_Z(z) = \frac{d}{dz} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, dy \right] dx$$

假设积分与求导可以交换顺序（对于常见的连续型分布通常满足），我们将求导符号移入外层积分符号内：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{\partial}{\partial z} \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, dy \right] dx$$

第四步：利用变上限积分求导公式

观察方括号内的部分：

$$G(z) = \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, dy$$

这里被积函数是关于 $y$ 的，而 $x$ 视为常数。根据微积分基本定理（变上限积分求导）：

$$\frac{\partial}{\partial z} \int_{-\infty}^{g(z)} h(y) \, dy = h(g(z)) \cdot g'(z)$$

在本题中，上限 $g(z) = z - x$，且 $g'(z) = 1$。 被积函数 $h(y) = f(x, y)$。 所以：

$$\frac{\partial}{\partial z} \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, dy = f(x, z-x) \cdot 1 = f(x, z-x)$$

第五步：得出一般公式

将求导结果代回原式，得到 $Z=X+Y$ 的概率密度一般公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx$$

同理，若在第二步先固定 $y$ 积分，我们会得到对称的公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \, dy$$

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3. 推导连续性卷积公式（独立情形）

卷积公式通常特指随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立时的情形。

若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则它们的联合密度函数等于边缘密度函数的乘积：

$$f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$$

将此代入上述的一般公式中：

$$f(x, z-x) = f_X(x) \cdot f_Y(z-x)$$

于是得到标准的卷积公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$$

或者写作：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \, dy$$

这在数学上记作 $f_Z = f_X * f_Y$。

总结

1. 一般情形（不一定独立）：

   $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx$$

   2. 独立情形（卷积公式）：

      $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$$