信号与系统——期末复习要点整理

标注说明：「PPT x.x」 = 对应课件节号；「习题 x-x」 = 课本习题号；「例题 x-x」 = 课本例题号；「P xx」 = 课本页码。

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一、信号的基本概念

1. 信号的分类

• 周期信号：存在 $T>0$，使 $x(t)=x(t+T)$ 对所有 $t$ 成立；最小的 $T$ 称为基本周期。
• 非周期信号：不存在这样的 $T$。
• 合成信号周期判断（常考选择/填空）：
  • 若 $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$，周期分别为 $T_1,T_2$，且 $T_1/T_2$ 为有理数，则合成信号是周期信号，周期为 $T_1,T_2$ 的最小公倍数。
  • 若比值为无理数，合成信号是非周期信号。
  • 正弦/余弦：$\cos(\omega_0 t+\varphi)$ 的周期 $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$。

👉 ① 求周期T 对应：习题 1-3

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2. 信号的基本运算

常见运算（填空常考"先平移再反转"还是"先反转再平移"的区别）：

• 平移：$x(t-t_0)$ —— 右移（$t_0>0$ 时图形右移）
• 反转：$x(-t)$ —— 以纵轴为对称翻转
• 尺度变换：$x(at)$ —— $a>1$ 压缩，$0<a<1$ 扩展
• 复合运算：$x(at-b)$，建议顺序：令自变量整体替换 $t\to at-b$ 直接代入，不容易出错
• 微分：$\dfrac{dx(t)}{dt}$；积分：$\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$
• 相加、相乘

👉 ② 基本运算 对应：例题 1-1（课本 P13）

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3. 奇异函数：$\delta(t)$、$u(t)$、$f(t)$ 关系

函数	定义/性质
单位阶跃 $u(t)$	$u(t)=\begin{cases}1,&t>0\\0,&t<0\end{cases}$
单位冲激 $\delta(t)$	$\delta(t)=0\ (t\neq0)$，$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$
斜变函数 $r(t)$	$r(t)=t\cdot u(t)$

核心微积分关系（必背）：

$$\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}, \qquad u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau$$

$$u(t)=\frac{dr(t)}{dt}, \qquad r(t)=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau$$

一般信号 $f(t)$ 与 $\delta(t)$、$u(t)$ 的关系：

• 筛选性：$f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$
• 尺度性：$\delta(at)=\dfrac{1}{|a|}\delta(t)$
• 任意信号可表示为冲激函数加权积分：$f(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau$（卷积形式的来源）

👉 奇异函数关系对应：习题 1-14

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二、卷积与系统微分方程

1. 卷积的定义与计算

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$

计算步骤口诀：反转 → 平移 → 相乘 → 积分（图解法：固定一个信号，另一个反转后沿 $t$ 轴滑动，求重叠部分积分）

卷积的基本性质：

• 交换律：$x_1(t)*x_2(t)=x_2(t)*x_1(t)$
• 分配律：$x_1(t)*[x_2(t)+x_3(t)]=x_1(t)*x_2(t)+x_1(t)*x_3(t)$
• 结合律：$[x_1(t)*x_2(t)]*x_3(t)=x_1(t)*[x_2(t)*x_3(t)]$
• 微积分性质：$\dfrac{d}{dt}[x_1(t)*x_2(t)]=x_1'(t)*x_2(t)=x_1(t)*x_2'(t)$
• 与冲激函数卷积：$x(t)*\delta(t)=x(t)$；$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$
• 与阶跃函数卷积：$x(t)*u(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$（相当于对 $x(t)$ 积分）

👉 计算对应：PPT 2.8

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2. $e(t)*h(t)$ —— 零状态响应

对 LTI 系统：输入 $e(t)$，冲激响应 $h(t)$，则零状态响应：

$$r_{zs}(t)=e(t)*h(t)$$

这是卷积最核心的物理意义——必须牢记，是连接"系统响应"与"卷积运算"的桥梁。

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3. 系统的串联、并联与卷积

• 串联系统（级联）：总冲激响应为各子系统冲激响应的卷积 $$ h(t)=h_1(t)*h_2(t) $$
• 并联系统：总冲激响应为各子系统冲激响应的相加 $$ h(t)=h_1(t)+h_2(t) $$

👉 串联加、并联卷积 对应：习题 2-20

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三、傅里叶变换（FT）

定义

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt \qquad\qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

1. 重要性质

① 尺度变换（展缩性质）

$$x(at)\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{|a|}X\!\left(\frac{j\omega}{a}\right)$$

记忆要点：时域压缩 ⇒ 频域扩展；时域扩展 ⇒ 频域压缩（"一胀一缩"）。

② 奇偶虚实性（选择题常考"实/虚/奇/偶"判断）

$x(t)$ 的性质	$X(j\omega)$ 的性质
实函数	共轭对称：$X(-j\omega)=X^{*}(j\omega)$（实部偶、虚部奇）
实偶函数	$X(j\omega)$ 为实偶函数
实奇函数	$X(j\omega)$ 为纯虚奇函数
虚函数	$X(j\omega)$ 共轭反对称

③ 频移性质

$$x(t)e^{j\omega_0 t}\;\longleftrightarrow\;X\big(j(\omega-\omega_0)\big)$$

对 $\cos\omega_0 t$ 调制（重点！）：

$$x(t)\cos\omega_0 t \;\longleftrightarrow\; \frac12\Big[X\big(j(\omega-\omega_0)\big)+X\big(j(\omega+\omega_0)\big)\Big]$$

即原频谱 $X(j\omega)$ 向左、向右各搬移 $\omega_0$，再各乘以 $\tfrac12$ 叠加。 （若是 $\sin\omega_0 t$ 调制，则左右两部分符号相反，并多一个 $j$ 的系数：$\dfrac{1}{2j}[X(j(\omega-\omega_0))-X(j(\omega+\omega_0))]$）

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2. 常用变换对（填空必背表）

$x(t)$	$X(j\omega)$
$1$	$2\pi\delta(\omega)$
$u(t)$	$\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}$
$\delta(t)$	$1$
$\delta(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$
$E\cdot G_\tau(t)$（门函数，幅度 $E$，宽度 $\tau$）	$E\tau\,\mathrm{Sa}\!\left(\dfrac{\omega\tau}{2}\right)$
$e^{j\omega_0 t}$	$2\pi\delta(\omega-\omega_0)$
$\cos\omega_0 t$	$\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$
$\sin\omega_0 t$	$j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$
$\mathrm{sgn}(t)$	$\dfrac{2}{j\omega}$

其中 $\mathrm{Sa}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$（抽样函数）。

其余常用性质（用于综合计算）：

• 时移：$x(t-t_0)\leftrightarrow X(j\omega)e^{-j\omega t_0}$
• 微分：$\dfrac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow j\omega X(j\omega)$
• 积分：$\displaystyle\int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau \leftrightarrow \dfrac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)$
• 卷积定理：$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(j\omega)X_2(j\omega)$；$x_1(t)x_2(t)\leftrightarrow \dfrac{1}{2\pi}X_1(j\omega)*X_2(j\omega)$

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四、拉普拉斯变换（LT）

1. 是什么？收敛域？常用变换？

单边拉氏变换定义：

$$X(s)=\int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt$$

收敛域（ROC）：使上述积分收敛的 $s$ 取值范围。

• 右边信号（因果信号）：ROC 是某极点右侧的整个半平面 $\mathrm{Re}(s)>\sigma_0$
• 收敛域内不能含有极点；ROC 决定了反变换结果是否唯一对应一个时域信号

常用变换对：

$x(t)$	$X(s)$	收敛域
$\delta(t)$	$1$	全平面
$u(t)$	$1/s$	$\mathrm{Re}(s)>0$
$e^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{s+a}$	$\mathrm{Re}(s)>-a$
$t\,u(t)$	$1/s^2$	$\mathrm{Re}(s)>0$
$t^n u(t)$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\mathrm{Re}(s)>0$
$\cos\omega_0 t\,u(t)$	$\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$	$\mathrm{Re}(s)>0$
$\sin\omega_0 t\,u(t)$	$\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$	$\mathrm{Re}(s)>0$

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2. 初值定理 / 终值定理

$$\textbf{初值定理：}\quad x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s)$$

$$\textbf{终值定理：}\quad x(\infty)=\lim_{s\to0}sX(s)$$

终值定理使用条件：$sX(s)$ 的极点必须都位于 s 左半平面（不含虚轴，原点处单极点例外），否则终值不存在/无意义。

👉 初值/终值定理对应：习题 4-5

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3. s域分析与卷积定理

• 把时域微分方程通过拉氏变换转化为 s 域代数方程求解，关键公式（含初始条件）： $$ \frac{dx(t)}{dt};\longleftrightarrow;sX(s)-x(0^-) $$ $$ \int_{0^-}^{t}x(\tau)d\tau;\longleftrightarrow;\frac{X(s)}{s} $$
• s域卷积定理： $$ x_1(t)*x_2(t);\longleftrightarrow;X_1(s)X_2(s) $$ （时域卷积 → s 域直接相乘，这是 s 域法求零状态响应最常用的工具）

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4. 会求系统冲激响应

系统函数：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\Big|_{\text{零状态}}=\frac{N(s)}{D(s)}$$

冲激响应：

$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}[H(s)]$$

求法：① 由微分方程两边取拉氏变换（零初始条件）求出 $H(s)$；② 部分分式展开；③ 逐项查表反变换。

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5. 频带宽度

对于门函数（矩形脉冲，宽度 $\tau$）经傅里叶变换得到的 $\mathrm{Sa}(\cdot)$ 型频谱：

$$X(j\omega)=E\tau\,\mathrm{Sa}\!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)$$

第一个零点位置：

$$\frac{\omega_m \tau}{2}=\pi \;\Longrightarrow\; \omega_m=\frac{2\pi}{\tau}$$

通常将主瓣宽度的一半 $\omega_m=\dfrac{2\pi}{\tau}$ 定义为信号的频带宽度（即从 $0$ 到第一个零点）。脉冲越窄（$\tau$ 越小），频带越宽——这是"时宽频宽成反比"规律的具体体现。

        |X(jω)|
          ↑
          |        主瓣
          |      ╱‾‾‾╲
   ───────┼────╱       ╲────────→ ω
       -ωm     0        ωm

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五、论述题（重点：判定标准 + 举例）

1. 判断是否为 LTI（线性时不变）系统

判定标准：

• 线性：满足叠加性和齐次性 —— 若 $x_1(t)\to y_1(t)$，$x_2(t)\to y_2(t)$，则对任意常数 $a,b$： $$ ax_1(t)+bx_2(t);\longrightarrow;ay_1(t)+by_2(t) $$
• 时不变：输入延时多少，输出同样延时多少 —— 若 $x(t)\to y(t)$，则 $$ x(t-t_0);\longrightarrow;y(t-t_0) $$ 方法：直接代入定义验证（设任意输入，按系统方程算输出，再检验上述两条是否成立）。

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2. 系统的稳定性、因果性判断（时域、$h(t)$ 判断）

稳定性（BIBO 稳定）

• 定义：有界输入产生有界输出
• 时域判据： $$ \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|,dt < \infty \quad(\text{绝对可积}) $$
• s域判据：$H(s)$ 的全部极点都位于 s 左半开平面（虚轴上不能有极点；若虚轴上有单极点，系统属于"临界稳定"，不是 BIBO 稳定）
• 举例：
  • 稳定系统：$h(t)=e^{-t}u(t)$，极点 $s=-1$ 在左半平面 → 稳定
  • 不稳定系统：理想积分器 $h(t)=u(t)$，对应极点 $s=0$ 在虚轴上 → 不稳定（阶跃输入下输出无界）

因果性

• 定义：输出不超前于输入，即 $t<0$ 时输入为零，则 $t<0$ 时输出也必为零
• 时域判据： $$ h(t)=0,\quad t<0 $$
• 举例：
  • 因果系统：$h(t)=e^{-t}u(t)$（$t<0$ 时为0）
  • 非因果系统：理想低通滤波器，其 $h(t)$ 是 $\mathrm{Sa}(\cdot)$ 型函数，在 $t<0$ 时不为零 → 非因果（物理不可实现，只能近似）

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3. 时域抽样定理、混叠及消除（课本 P166-170 / P174-175）

抽样定理内容： 对于带限信号（最高频率分量为 $\omega_m$），当抽样角频率满足

$$\omega_s \geq 2\omega_m$$

（即抽样频率 $f_s\geq 2f_m$，称为奈奎斯特频率）时，可以由抽样后的离散样值无失真地恢复出原连续信号。

为什么会产生混叠： 抽样在频域表现为原信号频谱 $X(j\omega)$ 以 $\omega_s$ 为间隔进行周期延拓。如果 $\omega_s < 2\omega_m$，相邻周期的频谱搬移后会发生互相重叠（交叠），导致高频分量"折叠"进低频部分，无法再用低通滤波器干净地分离出原始频谱 —— 这就是频谱混叠（aliasing），会造成信号失真，且这种失真是不可逆的。

如何消除/避免混叠：

1. 提高抽样频率，使其满足 $\omega_s\geq 2\omega_m$（即减小抽样间隔 $T_s\leq \dfrac{1}{2f_m}$）；
2. 抗混叠预滤波：在抽样前加一个低通滤波器，滤除信号中高于 $\omega_s/2$ 的频率分量，从根源上保证满足抽样定理的条件（即使原信号本身频带很宽或非严格带限）。

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4. 第三章 FT 开放性内容

这一类一般是论述/简答形式，常见角度：

• 傅里叶变换建立了信号时域与频域的对应关系，物理意义是把信号分解为不同频率正弦分量的叠加；
• 频谱的幅度谱、相位谱的物理含义；
• 时域、频域的对偶性（duality）：时域窄 ↔ 频域宽，反之亦然；
• 周期信号用傅里叶级数展开（离散谱），非周期信号用傅里叶变换（连续谱）——二者可以统一在冲激函数串的框架下理解；
• 结合实际应用谈（如调制、滤波、抽样等）傅里叶变换的工程意义。

建议根据老师课上强调的具体角度，准备1-2段可以套用的论述模板。

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六、计算题

1. 零输入线性 $r_{zi}(t)$、零状态线性 $r_{zs}(t)$

• 零输入响应 $r_{zi}(t)$：输入为零（$e(t)=0$），仅由系统的初始状态引起的响应。对初始状态满足线性叠加：若初始状态加倍/线性组合，则 $r_{zi}(t)$ 也相应加倍/线性组合。
• 零状态响应 $r_{zs}(t)$：初始状态为零，仅由输入信号引起的响应。对输入信号满足线性叠加性质。
• 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应（可加性分解，是处理线性系统问题的基本框架）： $$ r(t)=r_{zi}(t)+r_{zs}(t) $$

👉 对应：PPT 2.5 的 例题 4

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2. 用时域或s域求

• 时域法（经典法）：先求齐次解（特征方程的根）+ 特解（与输入形式相关），再由初始条件确定待定系数。
• s域法：对微分方程两边取拉氏变换（保留初始条件项），转化为代数方程直接求出 $R(s)$，再反变换回时域，通常更简便、不容易出错。

👉 对应：PPT 4.6，课本 P68 例 2-9

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3. FT 变换性质综合应用（频移、微分、常用）

综合题通常是：给定时域表达式（含调制项 $\cos\omega_0t$、微分/积分运算等），要求写出其频谱表达式。解题思路：

1. 先把信号拆解为基本信号（门函数、阶跃、冲激等）的运算组合；
2. 分别查表写出基本信号的频谱；
3. 依次套用相应性质（频移、微分、尺度等）逐步变换；
4. 注意频移性质中"乘 $\cos\omega_0t$ 对应频谱左右各搬移 $\pm\omega_0$、再乘 $\tfrac12$"是最常考的一步。

👉 对应：习题 3-29

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4. 求 LT 逆变换

部分分式展开法（核心方法）：

1. 将 $X(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$ 分解为简单分式之和（单极点、重根、共轭复根三种情况分别处理）；
2. 单极点：$\dfrac{k_i}{s-s_i}\leftrightarrow k_i e^{s_it}u(t)$；
3. 重根（$n$ 重）：需要用 $\dfrac{k}{(s-s_i)^n}\leftrightarrow k\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{s_it}u(t)$；
4. 共轭复根：通常配方为 $\dfrac{s+\sigma}{(s+\sigma)^2+\omega_0^2}$ 和 $\dfrac{\omega_0}{(s+\sigma)^2+\omega_0^2}$ 的组合，对应 $e^{-\sigma t}\cos\omega_0t\,u(t)$ 和 $e^{-\sigma t}\sin\omega_0t\,u(t)$；
5. 逐项查表，叠加得到 $x(t)$。

👉 对应：习题 4-4

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七、综合应用

1. 求系统函数 → 画出零极点分布 → 会看稳定性

步骤：

1. 由微分方程（零初始条件下取拉氏变换）求出 $H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$；
2. 求分子 $N(s)=0$ 的根 → 零点（s 平面上用 "○" 标出）；求分母 $D(s)=0$ 的根 → 极点（用 "×" 标出）；
3. 稳定性判断：所有极点都位于 s 左半开平面（不含虚轴）⇒ 系统稳定；只要有一个极点在右半平面或虚轴上（重极点）⇒ 系统不稳定。

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2. $H(s)\to$ 分析频响 $\to$ 判断滤波（低通、高通、带通……）

方法： 令 $s=j\omega$，代入得到频率响应：

$$H(j\omega)=H(s)\big|_{s=j\omega}=|H(j\omega)|\,e^{j\varphi(\omega)}$$

其中 $|H(j\omega)|$ 为幅频特性，$\varphi(\omega)$ 为相频特性。

判断滤波类型的关键看 $\omega\to0$ 和 $\omega\to\infty$ 时 $|H(j\omega)|$ 的趋势：

类型	$\omega=0$	$\omega\to\infty$	特点
低通	通过（幅值大）	趋于 0	只让低频通过
高通	趋于 0	通过（幅值大）	只让高频通过
带通	趋于 0	趋于 0	中间某频带通过，两端均衰减
带阻	通过	通过	中间某频带被阻止，两端通过

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3. 已知 $r(0^-)$、$e(t)$，求全响应（在s域）

标准流程：

1. 列出系统微分方程，两边取拉氏变换，保留初始条件项： $$ \mathcal{L}[r'(t)]=sR(s)-r(0^-) $$
2. 代入已知的 $r(0^-)$（及更高阶导数初值，如有）和 $E(s)=\mathcal{L}[e(t)]$，整理代数方程解出 $R(s)$；
3. 将 $R(s)$ 拆分为两部分： $$ R(s)=\underbrace{R_{zi}(s)}{\text{仅含初始条件项}}+\underbrace{R(s)}_{\text{仅含输入 }E(s)\text{ 项}} $$
4. 分别对 $R_{zi}(s)$、$R_{zs}(s)$ 做部分分式展开 + 拉氏逆变换，得到 $r_{zi}(t)$、$r_{zs}(t)$；
5. 全响应： $$ r(t)=r_{zi}(t)+r_{zs}(t) $$

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复习索引速查表

知识点	来源
求周期 T	习题 1-3
信号基本运算	例题 1-1（课本 P13）
奇异函数关系	习题 1-14
卷积计算	PPT 2.8
串联/并联卷积	习题 2-20
初值/终值定理	习题 4-5
抽样定理/混叠	课本 P166-170, P174-175
零输入/零状态线性	PPT 2.5 的例题 4
时域/s域求解	PPT 4.6，课本 P68 例 2-9
FT性质综合应用	习题 3-29
LT逆变换	习题 4-4

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复习建议：选择/填空题主要考察"概念辨析 + 公式直接套用"（如奇偶虚实性、频移搬移方向、初终值定理条件），计算大题主要考察"卷积/拉氏变换求解系统响应"和"零极点—稳定性—频响"这条主线，论述题要背熟判定标准并准备好对应例子。