数字电子技术期末复习重点例题与习题详解

本篇文档收录了教学大纲及复习提纲中指定的重点例题与课后习题，并给出了标准、详尽的步骤解析。

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第三章 门电路

【题 3.7】

题目：试分析图 P3.7 中各 CMOS 电路的逻辑功能，写出输出的逻辑函数式。

解答：

• 电路 (a)：

  • 结构分析：由两级构成。第一级中，上方的 PMOS 管并联，下方的 NMOS 管串联，输入端均为 $A, B, C$，构成标准的 CMOS 与非门；第二级为一个 CMOS 反相器。
  • 函数式：第一级输出为 $Y_1 = \overline{ABC}$，经反相器后，输出为：

    $$Y = \overline{Y_1} = ABC$$

  • 功能：三输入与门。

• 电路 (b)：

  • 结构分析：第一级中，上方的 PMOS 管串联，下方的 NMOS 管并联，输入端为 $A, B, C$，构成标准的 CMOS 或非门；第二级为一个 CMOS 反相器。
  • 函数式：第一级输出为 $Y_1 = \overline{A + B + C}$，经反相器后，输出为：

    $$Y = \overline{Y_1} = A + B + C$$

  • 功能：三输入或门。

• 电路 (c)：

  • 结构分析：输入端 $INH$ 控制使能。当 $INH = 1$ 时，PMOS 截止，NMOS 导通将第一级拉低。
  • 函数式：

    $$Y = \overline{INH} \cdot (AB + CD)$$

  • 功能：带禁止端的与或非门。

• 电路 (d)：

  • 结构分析：由两个 CMOS 反相器和两个传输门（TG）组成。
    • 当 $B = 0$ 时，传输门 $\text{TG}_1$ 导通，$\text{TG}_2$ 截止，输出 $Y$ 连接到 $A$ 端的信号。
    • 当 $B = 1$ 时，传输门 $\text{TG}_2$ 导通，$\text{TG}_1$ 截止，输出 $Y$ 连接到 $A$ 的反相信号 $\bar{A}$。
  • 函数式：

    $$Y = A\bar{B} + \bar{A}B = A \oplus B$$

  • 功能：异或门。

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【题 3.13】

题目：试说明在下列情况下，用万用表测量图 P3.13 中（74 系列 TTL 与非门） $v_{I2}$ 端得到的电压各为多少（已知万用表内阻为 $100\text{ k}\Omega$）：

1. $v_{I1}$ 悬空；
2. $v_{I1}$ 接低电平 ($0.2\text{ V}$)；
3. $v_{I1}$ 接高电平 ($3.2\text{ V}$)；
4. $v_{I1}$ 经 $51\ \Omega$ 电阻接地；
5. $v_{I1}$ 经 $10\text{ k}\Omega$ 电阻接地。

解答： 对于 74 系列 TTL 门电路，输入端相当于多发射极三极管的发射极。万用表等效为 $R_V = 100\text{ k}\Omega$ 的接地电阻。

1. $v_{I1}$ 悬空：此时 $v_{I1}$ 相当于高电平。由于 $R_V = 100\text{ k}\Omega$ 远大于 TTL 关门电阻 $R_{off}$（约 $1\text{ k}\Omega \sim 2\text{ k}\Omega$），$v_{I2}$ 处相当于接大电阻到地，呈现高电平，电压被前级基极-发射极结压降锚定：

   $$v_{I2} \approx 1.4\text{ V}$$

2. $v_{I1}$ 接低电平 ($0.2\text{ V}$)：前级三极管发射结导通，基极电压被钳位在 $0.2\text{ V} + 0.7\text{ V} = 0.9\text{ V}$。$v_{I2}$ 端通过 $R_V$ 接地，该发射结同样导通并分流：

   $$v_{I2} \approx v_{I1} \approx 0.2\text{ V}$$

3. $v_{I1}$ 接高电平 ($3.2\text{ V}$)：发射结截止。倒置放大状态下，基极电压为 $2.1\text{ V}$：

   $$v_{I2} \approx 1.4\text{ V}$$

4. $v_{I1}$ 经 $51\ \Omega$ 电阻接地：因为 $51\ \Omega < R_{off}$，相当于输入低电平：

   $$v_{I2} \approx 0\text{ V}$$

5. $v_{I1}$ 经 $10\text{ k}\Omega$ 电阻接地：因为 $10\text{ k}\Omega > R_{on}$，相当于输入高电平：

   $$v_{I2} \approx 1.4\text{ V}$$

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【题 3.14】

题目：若将上题（【题 3.13】）中的与非门改为 74 系列 TTL 或非门，试问在上述五种情况下测得的 $v_{I2}$ 电压各为多少？

解答：

• 原理分析：TTL 或非门的各个输入端在内部是由独立的输入三极管分别实现的，多路输入之间在物理上是隔离的。
• 结论：无论 $v_{I1}$ 接何种电平或何种电阻，它都不会影响 $v_{I2}$ 的输入级通路。因此，$v_{I2}$ 端测得的电压仅取决于该端外接的万用表内阻 $R_V = 100\text{ k}\Omega$。由于 $100\text{ k}\Omega \gg R_{off}$，该端始终等效为高电平： 在所有 5 种情况下，测得电压均为：

  $$v_{I2} \approx 1.4\text{ V}$$

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【题 3.15】

题目：若将图 P3.13 中的门电路改为 CMOS 与非门，试说明在【题 3.13】给出的五种状态下，$v_{I2}$ 各等于多少？

解答：

• 原理分析：CMOS 门电路的输入端为绝缘栅结构，输入阻抗极高（$> 10^9\ \Omega$），几乎没有输入偏置电流流出。
• 当 $v_{I2}$ 接万用表（$R_V = 100\text{ k}\Omega$ 到地）时，由于没有电流流过 $R_V$，万用表两端压降接近于 0。
• 结论：在所有 5 种情况下，测得电压均为：

  $$v_{I2} \approx 0\text{ V}$$

• 

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第四章 组合逻辑电路

【题 4.9】

题目

：

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【题 4.12】

题目：试画出用 3 线-8 线译码器 74HC138 和门电路产生如下多输出逻辑函数的逻辑图：

$$\begin{cases} Y_1 = AC \\ Y_2 = A'B'C + AB'C' + BC \\ Y_3 = B'C' + ABC' \end{cases}$$

解答：

1. 将各输出函数展开为最小项之和（设输入变量 A、B、C 分别接译码器的地址选择端 $A_2, A_1, A_0$）：

   $$\begin{aligned} Y_1 &= AC(B + B') = ABC + AB'C = m_5 + m_7 \\ Y_2 &= A'B'C + AB'C' + BC(A + A') = A'B'C + AB'C' + ABC + A'BC \\ &= m_1 + m_4 + m_7 + m_3 = \sum m(1, 3, 4, 7) \\ Y_3 &= B'C'(A + A') + ABC' = AB'C' + A'B'C' + ABC' \\ &= m_4 + m_0 + m_6 = \sum m(0, 4, 6) \end{aligned}$$

2. 转换成与非-与非形式（利用 74HC138 输出低电平有效，即 $Y_i' = \overline{m_i}$）：

   $$\begin{aligned} Y_1 &= \overline{\overline{m_5 + m_7}} = \overline{\overline{m_5} \cdot \overline{m_7}} = \overline{Y_5' \cdot Y_7'} \\ Y_2 &= \overline{\overline{m_1 + m_3 + m_4 + m_7}} = \overline{Y_1' \cdot Y_3' \cdot Y_4' \cdot Y_7'} \\ Y_3 &= \overline{\overline{m_0 + m_4 + m_6}} = \overline{Y_0' \cdot Y_4' \cdot Y_6'} \end{aligned}$$

3. 连接方案： 将 74HC138 的地址端 $A_2, A_1, A_0$ 分别接输入信号 $A, B, C$，使能端 $S_1 = 1$，$S_2' = S_3' = 0$。用三个外接与非门分别对对应的译码器输出端（$Y_i'$）进行组合，即可输出 $Y_1, Y_2, Y_3$。

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【例 4.3.3】

题目：试用 3 线-8 线译码器 74HC138 和适当的与非门设计一个全加器。

解答：

1. 列出全加器的真值表与逻辑函数： 全加器的输入为加数 $A, B$ 及低位进位 $C_i$；输出为本位和 $S$ 与向高位的进位 $C_o$。

   • $S = A \oplus B \oplus C_i = \sum m(1, 2, 4, 7)$
   • $C_o = AB + C_i(A + B) = \sum m(3, 5, 6, 7)$

2. 代入 74HC138 的输出表达式（地址端 $A_2 \rightarrow A$，$A_1 \rightarrow B$，$A_0 \rightarrow C_i$）：

   $$\begin{aligned} S &= \overline{Y_1' \cdot Y_2' \cdot Y_4' \cdot Y_7'} \\ C_o &= \overline{Y_3' \cdot Y_5' \cdot Y_6' \cdot Y_7'} \end{aligned}$$

3. 接线结构： 使能端工作在正常译码状态。译码器对应的输出管脚通过两个四输入与非门输出，分别得到和 $S$ 与进位 $C_o$。

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【题 4.16】

题目：分析图 P4.16 电路，写出输出 Z 的逻辑函数式。74HC151 为 8 选 1 数据选择器。

解答：

1. 确定 74HC151 的逻辑表达式： 8 选 1 数据选择器的输出公式为：

   $$Z = \sum_{i=0}^{7} m_i D_i$$

   其中 $m_i$ 为选择控制端 $A_2, A_1, A_0$ 构成的最小项。

2. 分析图中的接线关系：

   • 选择控制端：$A_2 = C$，$A_1 = B$，$A_0 = A$。
   • 数据输入端：

     $$D_0 = D, \quad D_1 = 1, \quad D_2 = D, \quad D_3 = D, \quad D_4 = \bar{D}, \quad D_5 = \bar{D}, \quad D_6 = \bar{D}, \quad D_7 = 0$$

3. 代入化简表达式：

   $$\begin{aligned} Z &= C'B'A'D + C'B'A(1) + C'BA'D + C'BAD + CB'A'\bar{D} + CB'A\bar{D} + CBA'\bar{D} + CBA(0) \\ &= C'B'A + C'D(B'A' + BA' + BA) + C\bar{D}(B'A' + B'A + BA') \\ &= C'B'A + C'D(A' + B) + C\bar{D}(B' + A') \\ &= C'B'A + C'A'D + C'BD + CB'\bar{D} + CA'\bar{D} \end{aligned}$$

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【题 4.22】

题目：试用 8 选 1 数据选择器设计一个血型输血判断逻辑电路。输血者与受血者的血型授受关系符合以下规定：O 型血可以输给任何血型的人；AB 型血的人可以接受任何血型的血；A 型血可以输给 A 型或 AB 型；B 型血可以输给 B 型或 AB 型。

解答：

1. 变量编码： 设输血者血型用变量 $M, N$ 表示，受血者血型用变量 $P, Q$ 表示：

   • $00 \rightarrow \text{O}$ 型；$01 \rightarrow \text{A}$ 型；$10 \rightarrow \text{B}$ 型；$11 \rightarrow \text{AB}$ 型。 设输出 $Z = 1$ 表示符合规定，允许输血；$Z = 0$ 表示不允许。

2. 列出真值表：

   输血者 $MN$	受血者 $PQ$	允许输血 $Z$	说明
   00 (O)	$PQ$	1	O型可输给任何人
   01 (A)	01(A), 11(AB)	1	A型只能输给A或AB
   01 (A)	00(O), 10(B)	0
   10 (B)	10(B), 11(AB)	1	B型只能输给B或AB
   10 (B)	00(O), 01(A)	0
   11 (AB)	11(AB)	1	AB型只能输给AB
   11 (AB)	其他	0

3. 降维法确定数据选择器输入： 选择数据选择器的地址端为：$A_2 = M$，$A_1 = N$，$A_0 = P$。剩余变量 $Q$ 作为数据输入端的函数：

   • 当 $MNP = 000$ (对应输血者 O 型，受血者 O 或 A)：$Z = 1 \Rightarrow D_0 = 1$。
   • 当 $MNP = 001$ (对应输血者 O 型，受血者 B 或 AB)：$Z = 1 \Rightarrow D_1 = 1$。
   • 当 $MNP = 010$ (对应输血者 A 型，受血者 O 或 A)：仅当受血者为 A ($PQ=01$) 时 $Z=1$，即 $Q=1$ 时 $Z=1 \Rightarrow D_2 = Q$。
   • 当 $MNP = 011$ (对应输血者 A 型，受血者 B 或 AB)：仅当受血者为 AB ($PQ=11$) 时 $Z=1$，即 $Q=1$ 时 $Z=1 \Rightarrow D_3 = Q$。
   • 当 $MNP = 100$ (对应输血者 B 型，受血者 O 或 A)：均不允许 $Z = 0 \Rightarrow D_4 = 0$。
   • 当 $MNP = 101$ (对应输血者 B 型，受血者 B 或 AB)：均允许 $Z = 1 \Rightarrow D_5 = 1$。
   • 当 $MNP = 110$ (对应输血者 AB 型，受血者 O 或 A)：均不允许 $Z = 0 \Rightarrow D_6 = 0$。
   • 当 $MNP = 111$ (对应输血者 AB 型，受血者 B 或 AB)：仅当受血者为 AB ($PQ=11$) 时 $Z=1$，即 $Q=1$ 时 $Z=1 \Rightarrow D_7 = Q$。

4. 结论接线方式： 数据输入端连接关系：$D_0 = D_1 = D_5 = 1$；$D_4 = D_6 = 0$；$D_2 = D_3 = D_7 = Q$。

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第五章 触发器

【题 5.18】

题目：设各触发器初始状态均为 $Q = 0$，画出在第一级 $CLK$ 连续作用下各触发器输出端的电压波形。

解答： 通过分析输入激励及触发器的触发特性（边沿触发方式与状态更新方程），其核心逻辑归纳如下表：

触发器输出	触发器类型	触发沿	激励输入	状态更新规律
$Q_1$	JK 触发器	下降沿 ($\downarrow$)	$J=1, K=1$	二分频：在每个 $CLK$ 下降沿翻转。
$Q_2$	JK 触发器	下降沿 ($\downarrow$)	$J=0, K=1$	置0：维持在初始的 $0$ 状态不变。
$Q_3$	JK 触发器	上升沿 ($\uparrow$)	$J=1, K=1$	在每个 $CLK$ 上升沿翻转。
$Q_4$	T 触发器	上升沿 ($\uparrow$)	$T=1$	在每个 $CLK$ 上升沿翻转。
$Q_9$	D 触发器	上升沿 ($\uparrow$)	$D=1$	在第 $1$ 个上升沿跳变为 $1$ 并保持。
$Q_{12}$	T' 触发器	下降沿 ($\downarrow$)	$T'=1$	在每个 $CLK$ 下降沿翻转。

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第六章 时序逻辑电路

【题 6.12】

题目：分析图 P6.12 的计数器电路，说明这是多少进制的计数器，并画出电路的状态转换图。

解答：

1. 分析电路连接：

   • 采用的芯片为 4 位二进制同步加法计数器 74LS161。
   • $EP = ET = 1$，处于计数工作状态。
   • 数据置入端全接地：$D_3 D_2 D_1 D_0 = 0000$。置数端 $LD' = 1$。
   • 异步清零端 $R_D'$ 连接到一个与非门的输出：

     $$R_D' = \overline{Q_2 Q_1}$$

2. 分析状态跳变逻辑：

   • 该电路使用异步清零法。
   • 计数初态为 $0000$，状态变化规律为：

     $$0000 \rightarrow 0001 \rightarrow 0010 \rightarrow 0011$$

   • 当计数器状态到达 $0011$（即 $Q_2 = 1, Q_1 = 1$）的一瞬间，与非门输出变为低电平，从而使 $R_D' = 0$，触发异步清零。
   • 计数器瞬间复位到 $0000$。状态 $0011$ 持续时间极短，为过渡状态。

3. 结论： 该电路稳定工作的状态序列为：$0000 \rightarrow 0001 \rightarrow 0010 \rightarrow 0000$。 因此，该电路为一个 三进制 (Mod-3) 计数器。

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【题 6.13】

题目：试分析图 P6.13 的计数器在 $M = 1$ 和 $M = 0$ 时各为几进制计数器（采用 74160 十进制计数器）。

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【题 6.15】

题目：图 P6.15 电路为可变进制计数器。试分析当控制变量 $A = 1$ 和 $A = 0$ 时电路各为几进制计数器（74LS161）。

解答：

1. 写出置数端反馈逻辑： 电路采用 74LS161，预置数输入 $D_3 D_2 D_1 D_0 = 0000$，异步清零端 $R_D' = 1$（无效）。同步置数端 $LD'$ 接至反馈门电路输出 $Y$：

   $$LD' = Y = \overline{A' Q_3 Q_1 + A Q_2 Q_1}$$

2. 分析控制变量 $A = 0$ 时：
   • 反馈公式简化为：

     $$LD' = \overline{Q_3 Q_1}$$

   • 当计数状态到达 $1010$（十进制数 10）时，满足 $Q_3 = 1, Q_1 = 1$，使 $LD' = 0$。
   • 在下一个 $CLK$ 上升沿，电路加载置入数据 $0000$。
   • 稳定循环的状态为：$0 \rightarrow 1 \rightarrow \dots \rightarrow 10 \rightarrow 0$。
   • 结论：十一进制计数器。
3. 分析控制变量 $A = 1$ 时：
   • 反馈公式简化为：

     $$LD' = \overline{Q_2 Q_1}$$

   • 当计数状态到达 $0110$（十进制数 6）时，满足 $Q_2 = 1, Q_1 = 1$，使 $LD' = 0$。
   • 在下一个 $CLK$ 上升沿，电路加载置入数据 $0000$。
   • 稳定循环的状态为：$0 \rightarrow 1 \rightarrow \dots \rightarrow 6 \rightarrow 0$。
   • 结论：七进制计数器。

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【题6.17】补

【题 6.26】

题目：图 P6.26 是一个由 3 个 D 触发器组成的移位寄存器型计数器。试画出电路的状态转换图，说明这是几进制计数器，并判断能否自启动。

解答：

1. 写出触发器的状态方程：

   • 移位关系：

     $$Q_2^* = Q_1, \quad Q_3^* = Q_2$$

   • 反馈激励逻辑输入至 $D_1$：

     $$Q_1^* = D_1 = (Q_2 \oplus Q_3) + \overline{Q_2 + Q_3} = (Q_2 Q_3' + Q_2' Q_3) + Q_2' Q_3' = Q_2' + Q_3' = \overline{Q_2 Q_3}$$

2. 分析状态转换轨迹（以 $Q_1 Q_2 Q_3$ 表示状态）：

   • 从初态 $000$ 开始：

     $$000 \rightarrow 100 \rightarrow 110 \rightarrow 111 \rightarrow 011 \rightarrow 001 \rightarrow 100 \rightarrow \dots$$

     形成包含 5 个有效状态的闭合环。
   • 处于该主循环时，计数器的状态数目为 5。因此为 五进制 计数器。

3. 检查自启动特性： 计算其余未使用的状态：

   • $010 \rightarrow 101 \rightarrow 110$（进入主循环）
   • 未使用的状态均能自动收敛、切入主循环中，因此电路 能自启动。

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【题 6.33】

用 D 触发器和门电路设计一个十一进制计数器，并检查设计的电路能否自启动。

第一步：确定触发器的数量

要设计一个十一进制（$M = 11$）计数器，所需的触发器数目 $n$ 应满足：

$$2^{n-1} < 11 \le 2^n \implies n = 4$$

因此，需要 4 个 D 触发器，设其状态输出为 $Q_3, Q_2, Q_1, Q_0$（其中 $Q_3$ 为最高位，$Q_0$ 为最低位）。

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第二步：确定状态转换编码

采用自然二进制编码，计数器的 11 个有效状态从 $0000$（0）递增至 $1010$（10）。

• 有效状态序列：

  $$0000 \rightarrow 0001 \rightarrow 0010 \rightarrow 0011 \rightarrow 0100 \rightarrow 0101 \rightarrow 0110 \rightarrow 0111 \rightarrow 1000 \rightarrow 1001 \rightarrow 1010 \rightarrow 0000$$

• 无效（多余）状态：$1011, 1100, 1101, 1110, 1111$ 共 5 个状态，在化简时可先作为任意项（$\times$）处理。

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第三步：求驱动方程（次态化简）

对于 D 触发器，其特性方程为 $Q^* = D$。因此，驱动方程 $D_i = Q_i^*$。 利用卡诺图对 $Q_3^*, Q_2^*, Q_1^*, Q_0^*$ 进行化简，可得各触发器的驱动方程：

1. $D_0$ 的驱动方程：

   $$D_0 = Q_0^* = \bar{Q}_0 \bar{Q}_3 + \bar{Q}_0 \bar{Q}_1 = \bar{Q}_0 (\bar{Q}_3 + \bar{Q}_1)$$

2. $D_1$ 的驱动方程：

   $$D_1 = Q_1^* = \bar{Q}_1 Q_0 + Q_1 \bar{Q}_0 \bar{Q}_3$$

3. $D_2$ 的驱动方程：

   $$D_2 = Q_2^* = Q_2 \bar{Q}_1 + Q_2 \bar{Q}_0 + \bar{Q}_2 Q_1 Q_0 = Q_2 \overline{Q_1 Q_0} + \bar{Q}_2 Q_1 Q_0 = Q_2 \oplus (Q_1 Q_0)$$

4. $D_3$ 的驱动方程：

   $$D_3 = Q_3^* = Q_3 \bar{Q}_2 + Q_2 Q_1 Q_0$$

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第四步：检查电路能否自启动

将 5 个无效状态（$1011, 1100, 1101, 1110, 1111$）分别代入上述得到的驱动方程，计算它们的次态：

• 对于输入状态 $1011$：
  • $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$, $D_3 = 1 \implies$ 次态为 $1100$
• 对于输入状态 $1100$：
  • $D_0 = 1$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$, $D_3 = 0 \implies$ 次态为 $0101$（已进入有效状态循环）
• 对于输入状态 $1101$：
  • $D_0 = 0$, $D_1 = 1$, $D_2 = 1$, $D_3 = 0 \implies$ 次态为 $0110$（已进入有效状态循环）
• 对于输入状态 $1110$：
  • $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$, $D_3 = 0 \implies$ 次态为 $0100$（已进入有效状态循环）
• 对于输入状态 $1111$：
  • $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 0$, $D_3 = 1 \implies$ 次态为 $1000$（已进入有效状态循环）

自启动分析结论： 无效状态的转移关系为：

• $1011 \rightarrow 1100 \rightarrow 0101$（有效状态）
• $1101 \rightarrow 0110$（有效状态）
• $1110 \rightarrow 0100$（有效状态）
• $1111 \rightarrow 1000$（有效状态）

因为所有无效状态在时钟脉冲作用下，最终都能自动进入有效的十一进制循环回路中，所以该电路能够自启动。