概率论整理

以下是根据图片内容整理的文档：

1、P8 例 6, 例 7图片中的题目（例7）详情：

题目： 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求： 所用的枪是校准过的概率。 解： 设 $A=\{\text{射击时中靶}\}$, $B_1=\{\text{枪校准过}\}$, $B_2=\{\text{枪未校准}\}$， 则 $B_1, B_2$ 是 $\Omega$ 一个划分，由贝叶斯公式，得

$$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)} = \frac{0.8 \times (5/8)}{0.8 \times (5/8) + 0.3 \times (3/8)} = \frac{40}{49}$$

2、课本 P6 例 9

3、P26 T12

4、课本 P30 T3，在此题基础上，再求 (1) $P\{1/2<X\leqslant 2,\ 1/2<X\leqslant 2\}$； (2) X 与 Y 是否独立； (3) Z=Max{X, Y}, Z=Min{X, Y}, Z=X+Y 的分布律。

5、P52 T2，T5

6、P92 T6

7、P102 T6

8、P112 例 4

9、P137 例 4

10、P140 例 7

11、P142 例 8

12、P146 例 9

13、P189 T7

14、P189 T8

15、P184 例 9

16、P189 T17

17、求边缘密度函数及是否独立（图片中的例3）：

题目： 设 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y) = \begin{cases} xe^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

问： $X$ 与 $Y$ 是否独立？

解：

$$f_X(x) = \int_0^{\infty} xe^{-(x+y)} dy = xe^{-x}, \quad x>0,$$

$$f_Y(y) = \int_0^{\infty} xe^{-(x+y)} dx = e^{-y}, \quad y>0.$$

从而，对一切 $x,y \in R$，均有

$$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y).$$

故，$X$ 与 $Y$ 是相互独立。