戴维南定理习题（正弦稳态）

已知数据：$\dot{U}_s = j100\,\text{V}$，$\dot{I}_s = 5\,\text{A}$。 元件阻抗：$R=20\Omega$，$Z_C=-j10\Omega$，$Z_L=j20\Omega$。

---

一、 求戴维南等效阻抗 $Z_{eq}$ (两种方法)

前提：将独立源置零（电压源短路，电流源开路），从端口 1-0 看进去，电路结构为 $R \parallel Z_C \parallel Z_L$。

方法 1：阻抗逐步合并法

1. 先算电阻与电容并联：

   $$Z_1 = 20 \parallel (-j10) = \frac{20 \times (-j10)}{20 - j10} = \frac{-j200}{10(2-j)} = 4 - j8\,\Omega$$

2. 再与电感并联：

   $$Z_{eq} = Z_1 \parallel j20 = \frac{(4-j8)(j20)}{4-j8+j20} = \frac{160+j80}{4+j12}$$

   化简：分子分母同除以4，再有理化

   $$Z_{eq} = \frac{40+j20}{1+j3} = \frac{(40+j20)(1-j3)}{10} = \mathbf{10 - j10\,\Omega}$$

方法 2：导纳法 (推荐，更快捷)

1. 求各支路导纳：

   $$G = \frac{1}{20}=0.05, \quad Y_C = \frac{1}{-j10}=j0.1, \quad Y_L = \frac{1}{j20}=-j0.05$$

2. 导纳直接相加：

   $$Y_{eq} = 0.05 + j0.1 - j0.05 = 0.05 + j0.05\,\text{S}$$

3. 取倒数求阻抗：

   $$Z_{eq} = \frac{1}{Y_{eq}} = \frac{1}{0.05(1+j)} = \frac{20}{1+j} = \frac{20(1-j)}{2} = \mathbf{10 - j10\,\Omega}$$

---

二、 求最大功率及其条件

1. 求开路电压 $\dot{U}_{oc}$ 对节点 1 列 KCL 方程（所有源工作，端口开路）：

$$\frac{\dot{U}_{oc} - j100}{20} + \frac{\dot{U}_{oc}}{-j10} + \frac{\dot{U}_{oc}}{j20} = 5$$

整理得：

$$\dot{U}_{oc}(\frac{1}{20} + j\frac{1}{10} - j\frac{1}{20}) = 5 + \frac{j100}{20}$$

$$\dot{U}_{oc}(0.05 + j0.05) = 5 + j5$$

$$\dot{U}_{oc} = \frac{5(1+j)}{0.05(1+j)} = 100\,\text{V}$$

2. 最大功率条件 负载阻抗需与内阻抗共轭：

$$Z_L = Z_{eq}^* = \mathbf{10 + j10\,\Omega}$$

3. 最大功率值

$$P_{max} = \frac{|\dot{U}_{oc}|^2}{4 \times \text{Re}(Z_{eq})} = \frac{100^2}{4 \times 10} = \mathbf{250\,\text{W}}$$

---

三、 求各独立源的复功率 (当 $Z_L$ 获最大功率时)

此时电路状态：$Z_L = 10+j10$ 接入电路。

1. 计算负载端电压 $\dot{U}_L$ 利用分压公式（或等效电路）：

$$\dot{U}_L = \dot{U}_{oc} \times \frac{Z_L}{Z_{eq} + Z_L} = 100 \times \frac{10+j10}{(10-j10)+(10+j10)} = 100 \times \frac{10+j10}{20} = 50 + j50\,\text{V}$$

2. 电流源复功率 $\bar{S}_{Is}$

$$\bar{S}_{Is} = \dot{U}_L \times \dot{I}_s^* = (50 + j50) \times 5 = \mathbf{250 + j250\,\text{VA}}$$

(发出 250W 有功，发出 250var 无功)

3. 电压源复功率 $\bar{S}_{Us}$ 流出电压源的电流：

$$\dot{I}_{Us} = \frac{\dot{U}_s - \dot{U}_L}{20} = \frac{j100 - (50+j50)}{20} = \frac{-50 + j50}{20} = -2.5 + j2.5\,\text{A}$$

功率计算：

$$\bar{S}_{Us} = \dot{U}_s \times \dot{I}_{Us}^* = (j100) \times (-2.5 - j2.5) = -j250 - j^2 250 = \mathbf{250 - j250\,\text{VA}}$$

(发出 250W 有功，吸收 250var 无功)