VitePress

Appearance

一阶电路 ​

这是一份关于一阶电路（RC电路和RL电路）零输入、零状态及全响应的公式整理。

在工程计算中，最通用、最核心的公式是“三要素法”。只要掌握了三要素法，其他响应形式都是它的特例。

1. 核心通用公式：三要素法 ​

任意一阶电路的响应 f(t)f(t)（电压或电流）均可表示为：

f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−tτf(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}

其中“三要素”为：

  1. f(0+)f(0_+)：初始值（换路后瞬间的值）。
  2. f(∞)f(\infty)：稳态值（换路很长时间后的值）。
  3. τ\tau：时间常数（决定变化快慢）。

2. 关键参数：时间常数 τ\tau ​

时间常数取决于电路的结构和元件参数，计算公式如下：

  • RC 电路 (电容 CC)：

    τ=ReqC\tau = R_{eq} C

  • RL 电路 (电感 LL)：

    τ=LReq\tau = \frac{L}{R_{eq}}

注意：ReqR_{eq} 是从储能元件（电容或电感）两端看进去的戴维宁等效电阻。

3. 三种响应的详细公式 ​

为了方便理解，设 y(t)y(t) 为电路中的电压 u(t)u(t) 或电流 i(t)i(t)。

(1) 零输入响应 (Zero-Input Response, ZIR) ​

  • 定义：没有外加激励源，仅由储能元件的初始储能引起的响应。
  • 条件：激励源 f(∞)=0f(\infty) = 0（或被移除），初始状态 f(0+)≠0f(0_+) \neq 0。
  • 物理意义：能量释放（放电）过程。
  • 公式：

    yzi(t)=y(0+)e−tτy_{zi}(t) = y(0_+) e^{-\frac{t}{\tau}}

(2) 零状态响应 (Zero-State Response, ZSR) ​

  • 定义：储能元件初始能量为零，仅由外加激励源引起的响应。
  • 条件：初始状态 f(0−)=0f(0_-) = 0 (即 f(0+)=0f(0_+)=0 对于状态变量)，稳态值 f(∞)≠0f(\infty) \neq 0。
  • 物理意义：能量积累（充电）过程。
  • 公式（假设为阶跃激励）：

    yzs(t)=y(∞)(1−e−tτ)y_{zs}(t) = y(\infty) (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

(3) 全响应 (Full Response) ​

  • 定义：电路既有初始储能，又有外加激励。

  • 两种分解方式：

    方式 A：叠加法 (全响应 = 零输入 + 零状态)

    y(t)=y(0+)e−tτ⏟零输入响应+y(∞)(1−e−tτ)⏟零状态响应y(t) = \underbrace{y(0_+) e^{-\frac{t}{\tau}}}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{y(\infty) (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})}_{\text{零状态响应}}

    方式 B：稳态+暂态分解 (数学形式)

    y(t)=y(∞)⏟稳态分量 (强制分量)+[y(0+)−y(∞)]e−tτ⏟暂态分量 (自由分量)y(t) = \underbrace{y(\infty)}_{\text{稳态分量 (强制分量)}} + \underbrace{[y(0_+) - y(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}}_{\text{暂态分量 (自由分量)}}

4. RC 与 RL 电路具体对照表 ​

在分析时，通常先求状态变量（电容电压 uCu_C 或电感电流 iLi_L），因为它们遵循换路定则（不能突变）。

电路类型状态变量初始条件时间常数 τ\tau全响应公式 (三要素)
RC 电路uC(t)u_C(t)uC(0+)=uC(0−)u_C(0_+) = u_C(0_-)τ=ReqC\tau = R_{eq}CuC(t)=uC(∞)+[uC(0+)−uC(∞)]e−tτu_C(t) = u_C(\infty) + [u_C(0_+) - u_C(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}
RL 电路iL(t)i_L(t)iL(0+)=iL(0−)i_L(0_+) = i_L(0_-)τ=LReq\tau = \frac{L}{R_{eq}}iL(t)=iL(∞)+[iL(0+)−iL(∞)]e−tτi_L(t) = i_L(\infty) + [i_L(0_+) - i_L(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}

5. 解题步骤总结 (使用三要素法) ​

  1. 求初始值 f(0+)f(0_+)：
    • 先分析 t=0−t=0_- 电路，求出 uC(0−)u_C(0_-) 或 iL(0−)i_L(0_-)。
    • 根据换路定则：uC(0+)=uC(0−)u_C(0_+) = u_C(0_-)， iL(0+)=iL(0−)i_L(0_+) = i_L(0_-)。
    • 画出 t=0+t=0_+ 的等效电路（电容视为电压源，电感视为电流源），求出所需的电压或电流初始值。
  2. 求稳态值 f(∞)f(\infty)：
    • 分析 t→∞t \to \infty 时的电路。
    • 直流激励下：电容视为开路，电感视为短路。
  3. 求时间常数 τ\tau：
    • 将激励源置零（电压源短路，电流源开路）。
    • 从储能元件两端看进去求等效电阻 ReqR_{eq}。
    • 计算 τ\tau。
  4. 代入公式：
    • f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−t/τf(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)] e^{-t/\tau}