P5.5(e) 电路题精确推导

这张图片是对上一题（P5.5(e) 电路）更精确的推导过程。

我之前的回答使用的是近似估算（假设 $R_1 \gg R_2$），而你上传的这张图片使用了电流分流公式，得出了更严谨的“精确解”。

下面我为你逐步解析这张图中公式的由来：

1. 解析反馈系数 $\dot{F}$

公式：

$$\dot{F} = \frac{\dot{I}_f}{\dot{I}_o} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

推导思路（电流分流器）：

1. 节点分析： 看 $T_2$ 的发射极（E）节点。交流电流 $\dot{I}_o$（即 $\dot{I}_e$）流出后，面临两条路：
   • 一条路通过 $R_2$ 流向电源 $V_{CC}$（交流地）。
   • 另一条路通过 $R_1$ 流向 $T_1$ 的基极（虚地）。
2. 电路模型： 这相当于电流 $\dot{I}_o$ 流入一个由 $R_1$ 和 $R_2$ 组成的并联电路。
3. 分流公式： 我们想要求流过 $R_1$ 的反馈电流 $\dot{I}_f$。根据并联电阻的电流分流公式：

$$\dot{I}_f = \dot{I}_o \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

(注意：分流公式中，求流过 R1 的电流，分子上是 R2) 4. 得出 F：

$$\dot{F} = \frac{\dot{I}_f}{\dot{I}_o} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

---

2. 解析电压放大倍数 $\dot{A}_{usf}$

公式：

$$\dot{A}_{usf} = \left( 1 + \frac{R_1}{R_2} \right) \cdot \frac{R'_L}{R_s}$$

推导思路（深度负反馈近似）： 图片利用了深度负反馈的一个核心特性：闭环增益 $\approx 1/F$（但要注意输入输出的量纲转换）。

1. 输入端变换 ($U \to I$)：

   • 由于是并联负反馈，输入端近似虚地，输入电流 $\dot{I}_s \approx \frac{\dot{U}_s}{R_s}$。
   • 在深度负反馈下，输入电流被反馈电流抵消（$\dot{I}_s \approx \dot{I}_f$）。
   • 所以：$\dot{U}_s \approx \dot{I}_f R_s$。

2. 输出端变换 ($I \to U$)：

   • 输出电压 $\dot{U}_o$ 是电流 $\dot{I}_o$ 在总负载电阻 $R'_L$ ($R_4 // R_L$) 上的压降。
   • 即：$\dot{U}_o = \dot{I}_o (R_4 // R_L) = \dot{I}_o R'_L$。

3. 代入计算：

$$\dot{A}_{usf} = \frac{\dot{U}_o}{\dot{U}_s} \approx \frac{\dot{I}_o R'_L}{\dot{I}_f R_s}$$

将 $\frac{\dot{I}_o}{\dot{I}_f}$ 替换为 $\frac{1}{\dot{F}}$：

$$\dot{A}_{usf} = \frac{1}{\dot{F}} \cdot \frac{R'_L}{R_s}$$

4. 最终形式： 代入第一步求出的精确 $\dot{F}$：

$$\dot{A}_{usf} = \frac{R_1 + R_2}{R_2} \cdot \frac{R'_L}{R_s} = \left( \frac{R_2}{R_2} + \frac{R_1}{R_2} \right) \cdot \frac{R'_L}{R_s}$$

$$= \left( 1 + \frac{R_1}{R_2} \right) \cdot \frac{R'_L}{R_s}$$